Matrix. matrici manipulând
O matrice dreptunghiulară de dimensiune m x n este un set de numere mn aranjate într-o matrice rectangulară care cuprinde m linii și n coloane. Scriem matricea sub formă de
sau prescurtat ca A = (aij) (i =
). Numbers ij. componentele acestei matrice sunt numite elementele sale; primul indice indică numărul rândului, iar al doilea - pe numărul coloanei. Două matrice A = (aij) și B = (bij) de aceeași mărime se numesc egale, dacă acestea sunt elemente egale la aceleași poziții, adică A = B, în cazul în care aij = bij.
O matrice constând din un singur rând sau coloană, respectiv, numit vector rând sau vector coloană. vectori coloană și vectori rând numit pur și simplu vectori.
O matrice formată dintr-un număr este identificat cu acel număr. Dimensiunea matricei m x n, ale cărei elemente sunt zero, numita matrice de zero, notată cu 0. Elementele cu aceeași matrice index numite elemente ale diagonalei principale. Dacă numărul de rânduri este egal cu numărul de coloane ale matricei, adică m = n, atunci matricea se numește un pătrat de ordinul n. matrice pătrată a cărei numai elementele nenule ale diagonalei principale, sunt numite matrici diagonale și scrise după cum urmează:
.
Dacă toate elementele aii matrice diagonală sunt 1, matricea se numește o unitate și este notat cu F literă:
.
Matricea pătrat se numește triunghiulară dacă toate elementele care stau mai sus (sau mai jos) diagonalei principale sunt egale cu zero. Se numește o transformare matrice de transpunere în care rândurile și coloanele sunt interschimbate cu păstrarea numărului lor. T reprezintă pictograma transpusa din partea de sus.
Să se dă matricea (4.1). Am rearanja rândurile cu coloane. obținem matricea
,
care este transpusa matricei A. în particular, atunci când vectorul coloană transpusa obținut prin linia de vector și vice-versa.
Produsul a matricei A de numerele # 955; este matricea ale cărei elemente sunt obținute din elementele respective ale matricei A prin înmulțirea numărului de # 955;: # 955; A = ( # 955; aij).
Suma a două matrici A = (AIJ) și B = (bij) de aceeași mărime, este matricea C = (cij) de aceeași mărime, elementele care sunt definite prin formula cij = aij + bij.
Un produs de matrice AB la matricea B se determină pe presupunerea că numărul de coloane ale matricei A este egal cu numărul de rânduri de Q. matrice
Produsul a două matrice A = (AIJ) și B = (bjk), unde i =
, dat într-o anumită ordine AB este matricea C = (CIK), ale cărui elemente sunt definite prin următoarea regulă:
Cu alte cuvinte, elemente ale produsilor de matrice sunt definite după cum urmează: elementul i-lea rând și coloana k a matricei C este egală cu suma produselor elementelor i-lea rând al matricei A corespunde elementelor k-th coloană de V. matrice
Permutare a numerelor 1, 2. n este orice aranjament al acestor numere într-o anumită ordine. In algebra elementară se dovedește că numărul de permutări care pot fi formate din n numere egal cu 12. n = n. De exemplu, din cele trei numere 1, 2, 3 pot forma un 3 = 6 permutare: 123, 132, 312, 321, 231, 213. Se spune că, într-o anumită permutare a numerelor i și j reprezintă inversiune (tulburare) dacă i> j dar ar trebui să i în această rearanjare înainte de j, atunci în cazul în care există un număr mai mare de costuri mai mici din stânga.
Un permutare se spune chiar (sau impar), în cazul în care, respectiv, chiar și (nui adevărat) numărul total de inversiuni. Operațiunea prin care de la o trecere la alta permutare compusă din același număr n, numit înlocuind gradul n-lea.
Schimbare care transformă un permutare la altul, este înregistrată în două rânduri în paranteze comune, numărul care ocupă același spațiu în aceste permutări sunt denumite adecvate și scrise unul sub altul. De exemplu, simbolul
semnifică substituție în care trei comutatoare 4, 1 → 2, 2 → 1 3 → 4. Schimbare se numește chiar și (sau impar), în cazul în care numărul total de inversiuni în ambele șiruri de substituție este chiar (nui adevărat). Orice permutare de gradul n-lea poate fi scrisă ca
,și anume cu un aranjament natural al numerelor pe linia de sus.
Să presupunem că avem o matrice pătratică de ordinul n
Luați în considerare toate produsele posibile de n elemente ale acestei matrici sunt luate unul câte unul și numai unul din fiecare rând și fiecare coloană, adică produse de forma:
în cazul în care indicii q1. q2. Qn constituie o permutare a numerelor
1, 2. n. Numărul acestor produse este numărul diferitelor permutări de n simboluri, adică, egal cu n. Semn al produsului (4.4) este egal cu (- 1) q. unde q - numărul de inversiuni din permutarea al doilea element de index.
Determinantul de ordinul n-lea corespunzătoare matricei (4.3) se numește suma algebrică a n! termeni de forma (4.4). Simbolul este utilizat pentru înregistrarea determinant # 8204; A # 8204; =
(Determinanți sau determinant al matricei A).
1. Determinantul nu se schimbă dacă vă transpune.
2. Dacă unul dintre rândurile de determinant constă din zerouri, determinantul este zero.
3. În cazul în determinantul rearanja două rânduri, modificările determinante semnează.
4. determinant care cuprinde două rânduri identice dispare.
5. În cazul în care toate elementele unui rând de determinantului se înmulțește cu un numar k, factorul determinant în sine înmulțit cu k.
6. determinant care cuprinde două linii proporțională este zero.
7. În cazul în care toate elementele i-lea rând de determinantului exprimat ca sumă a doi termeni ij = bj + cj (j =
), Determinantul este egală cu suma determinanților în care toate liniile cu excepția i-lea - la fel ca într-un anumit determinant, iar rândul i-lea într-una dintre componentele constă din elementele Bj. într-un alt - a elementelor cj.
8. nu se schimbă determinant dacă elementele de una dintre liniile sale sunt adăugate elemente corespunzătoare ale unui alt rând înmulțit cu același număr.
Notă. Toate proprietățile rămân valabile în cazul în care în loc de șiruri ia coloanelor.
Mij elementul aij determinant d ordin minor n-lea este determinantul de ordinul n-1, care se obține din d ștergerea rândului și coloanei care conține elementul activ.
Cofactor de AIJ elementului d determinant este numit minor Mij acestuia. luate cu semnul (-1) i + j. Cofactor elementului AIJ va fi notat Aij. Astfel, Aij = (-1) i + j + Mij.
Metode de calcul practic determinanților care se bazează pe faptul că determinantul de ordinul n poate fi exprimată în termeni de determinanți ordinele mai mici date de teorema următoare.
Teorema (extinderea determinantului de-a lungul unui rând sau coloană).
Factorul determinant este suma produselor tuturor elementelor din oricare din rândul său (sau coloana) de către cofactori lor. Cu alte cuvinte, există o descompunere a elementelor d ale rândului i-lea
)
sau J- gostolbtsa
).
În special, în cazul în care toate elementele rând (sau coloana), cu excepția unuia singur, egal cu zero, determinantul este acel element înmulțit cu cofactor acestuia.
Să considerăm matrice dreptunghiulară (4.1). Dacă această matrice aloca arbitrar rânduri k și k coloane, elementele care stau la intersecția rândului selectat și coloana formează o matrice pătrată de ordinul k. Determinantul acestei matrice se numește un ordin k minor al matricei A. Este evident că matricea A are minori orice ordine de la 1 până la cea mai mică dintre numerele m și n. Dintre toți minorii nenule ale matricei A, există cel puțin un minor, ordinea care va fi cel mai mare. Cel mai mare dintre ordinele minorilor matricei, diferite de zero, se numește rangul matricei. Dacă gradul de A este egal cu r, atunci acest lucru înseamnă că matricea A are un minor nenul de ordin r, dar fiecare minor de ordin mai mare decât r, este zero. Rangul matricei A este notat cu r (A). Este evident că relația
0 ≤ r (A) ≤ min (m, n).
Rangul matricei este fie minori de halo, sau prin transformări elementare. La calcularea rangul de prima metodă ar trebui să treacă de la ordinele inferioare minorilor minori de ordin superior. Dacă va fi găsit deja D ordin minor k al matricei A, un nenul, necesită apoi calcul numai minori (k + 1) Pentru D Minor fringing -lea, adică care îl conține, ca un minor. Dacă acestea sunt egale cu zero, atunci gradul egal cu k.
Elementar numit următoarea matrice de transformare:
1) permutarea oricăror două rânduri (sau coloane)
2) multiplicarea rând (sau coloana) la un număr de zero,
3) adăugarea unui rând (sau coloana) a unui alt rând (sau coloana) înmulțit cu un număr.
Două matrici sunt echivalente dacă unul se obține din celălalt printr-un set finit de transformări elementare.
matrici echivalente nu sunt, în general, egal, dar rândurile lor sunt egale. Dacă matricele A și B sunt echivalente, atunci este scris ca: A
matrice Canonical este o matrice în care la început
dintre care principale rând pe diagonală câteva unități (numărul
Acesta poate fi zero), și toate celelalte elemente sunt zero,
.
Folosind transformări elementare de rânduri și coloane de orice matrice poate fi redusă la canonică. matrice canonică Locul este egal cu numărul de unități în principalele sale diagonală.
4. Matricea inversă
Să considerăm matricea pătrată
.
denota # 916; = Det A.
O matrice pătrată A se numește nedegenerat sau nesingular dacă determinantul său este diferit de zero și degenerate, sau mai ales dacă # 916; = 0.
In matricea pătrată se numește inversa unei matrice Un pătrat de același ordin, în cazul în care produsul A = B A = E, unde E - matricea identității de același ordin ca și matricea A și B.
Teorema. Pentru matricea A fost retroactivă, este necesar și suficient ca determinant sa fie diferit de zero.
Matricea inversă A, notat cu A -1. astfel încât B = A -1. Matricea inversă se calculează cu formula:
în cazul în care Aij - cofactori ale elementelor ij.
Calculul matricei inverse cu formula (4.5) pentru matricile de ordin superior este foarte dificil, astfel încât, în practică, este convenabil să se găsească o matrice inversă prin metoda transformărilor elementare (VC). Orice matrice A non-singular de EPO poate conduce doar la coloanele matricei de identitate (sau rânduri numai) E. Dacă comise deasupra matricei A VC în același mod ca cel aplicat unității matricei E, rezultatul va fi matricea inversă. Este convenabil să se efectueze EP pe matrici A și E, în același timp, înregistrarea matricei aproape deasupra liniei. Rețineți din nou că, atunci când găsirea forma canonică a matricei, în scopul de a găsi rangul ei pot folosi transformări de rânduri și coloane. Dacă doriți să găsiți inversa unei matrice, numai rânduri sau numai coloanele care urmează să fie utilizate în procesul de transformare.