În practică, soluția exactă a acestei ecuații este dificilă, deoarece soluția dorită nu este de obicei exprimat în funcțiile elementare uzuale. Odată cu apariția de cercetători de calculator o oportunitate de a rezolva astfel de probleme prin metode numerice. Prin metode numerice implică metode de rezolvare a problemelor, reduse la operațiile aritmetice și logice pe numere, adică acele acțiuni care realizează calculator. În funcție de complexitatea problemei, o precizie predeterminată, etc. poate fi necesar să efectuați câteva zeci la mai multe miliarde de operații. În primul caz, pentru a obține soluția suficientă pentru a avea un calculator în al doilea - va necesita un computer puternic, mai ales dacă doriți să obțineți o soluție într-un timp scurt.
Soluția obținută prin metoda numerică este de obicei aproximativă, adică Acesta conține unele erori. Sursele de erori sunt: 1) lipsa de coerență a unei probleme matematice studiate fenomen real; 2) eroarea de date inițiale: 3) Metoda de soluții de eroare; 4) erori de rotunjire în aritmetică și alte operațiuni pe numere.
Eroarea în decizia din cauza primelor două surse se numește fatale. Această eroare poate fi prezentă, chiar dacă soluția unei probleme matematice găsită cu acuratețe. Problema cât de bine descrie modelul matematic al fenomenului investigat este testată prin compararea rezultatelor. Efectul de erori de date inițiale de multe ori poate fi estimată folosind diferite metode: metoda celor mai mici pătrate, Lagrange și altele.
Metode numerice in cele mai multe cazuri, ele însele sunt aproximative. Astfel de erori se numesc erori ale metodei. Acest lucru se datorează faptului că metoda numerică pentru a rezolva problema mai simplu, care aproximează problema originală. În unele cazuri, metoda numerică utilizată se bazează pe baza unui proces fără sfârșit, care duce la limita la soluția dorită. Cu toate acestea, procesul de calcul mereu întreruptă la un moment dat, ceea ce oferă o soluție aproximativă.
În rezolvarea problemelor pe calculatoare, două situații sunt cele mai frecvente:
1) în cazul în care numărul de operații aritmetice efectuate scăzut, atunci în mod normal, nu apar erori de rotunjire, deoarece numerele sunt reprezentate într-un calculator cu mai mult de 10 zecimale cifre semnificative, iar rezultatul final este necesar este rareori mai mult de 5 cifre zecimale semnificative.
2) în cazul în care o sarcină complexă (PDEs), în acest caz, erorile de rotunjire nu sunt luate în considerare în fiecare acțiune, deoarece acestea sunt compensare.
Pentru a rezolva aceeași problemă se pot aplica diferite metode de aproximare, în funcție de precizia dorită a calculului. O metodă numerică poate fi considerată care este selectată în cazul în care eroarea este o eroare iremediabilă de mai multe ori mai mici, iar eroarea care apare din cauza rotunjirii, numită eroarea calculată. de mai multe ori mai puțin decât eroarea metodei. Dacă o eroare fatală este absent, eroarea metodei trebuie să fie ceva mai mică decât eroarea specificată.
Metoda numerică a prezentat o serie de alte cerințe. Se acordă preferință unei metode care este implementată cu ajutorul unui număr mai mic de acțiuni necesită mai puțină memorie de calculator este logic mai simplu, ceea ce contribuie la mai rapidă punerea sa în aplicare pe un computer.
Cele mai multe metode numerice bazate pe înlocuirea obiectelor mai complexe, ecuații simple. Cel mai ușor de manevrat în funcție de practică este un polinom algebric. Pentru a specifica un polinom, trebuie să specificați doar un număr finit de coeficienți. Valorile polinomiali sunt calculate pur și simplu, este ușor să se diferențieze, să integreze, etc. polinoame algebrice sunt larg utilizate pentru funcții aproximative. Polinoamele sunt utilizate patru tipuri: Taylor, interpolare, aproximare uniformă, cea mai bună aproximare medie pătrată (metoda celor mai mici pătrate).
Pentru integrarea ecuațiilor diferențiale, care nu pot fi exprimate prin funcții elementare, sunt utilizate diferite metode :. Metoda Runge-Kutta, Monte Carlo, Euler, Gauss, etc. ecuațiile neliniare sunt rezolvate prin iterație, segment etc. împărțire în două.
Există un număr mare de sarcini, în cazul în care există un standard program de rezolvare a problemelor bine stabilite metode numerice și pe baza acestora. Există o bibliotecă de astfel de programe. Cercetatorii, care au întâlnit pentru prima dată problema de identitate este, de obicei, mai întâi caută un program similar standard și apoi încearcă să-l modifice, la cele mai bune condiții.
La etapa inițială a studiului este utilizat, de obicei, un model mai simplu al fenomenului, care vă permite să utilizeze metode mai simple de a face cu utilizarea de programe standard. Apoi, se deplasează treptat la mai multe metode și modele complexe, atingerea unui rezultat pozitiv.
Cele mai utilizate tehnici în experimentele computaționale numerice - studiul problemelor științifice, Numerical matematică înseamnă.
investigație matematică precede alegerea proximității fizice, și anume, decide ce ar trebui să fie luate în considerare factori, și ceea ce poate fi ignorat. Studiu suplimentar problemei efectuat de experiment computațional, care a identificat o serie de etape:
- Sarcina este de a alege modelul fizic al procesului, întrebarea de ce fel de cantități fizice ar trebui să fie luate în considerare. Descrierea modelului fizic se realizează o metodă matematică (diferențial, integral, și alte ecuații). Modelul matematic rezultat explorarea metodelor fizicii matematice pentru a determina în mod corect dacă sarcina, dacă lipsesc date sursă nu se contrazic reciproc, dacă acestea sunt, dacă există o soluție la problema și dacă acesta este unic.
- O metodă numerică Constructing aproximativă de rezolvare a problemei, și anume, selectarea unui algoritm de calcul. Algoritmul de calcul - o secvență de operații aritmetice și logice, prin care decizia este aproximativă problemă matematică numerică formulată în prima etapă.
- Programarea algoritm de calcul pe un computer.
- Efectuarea de calcule pe un computer.
- O analiză a rezultatelor numerice și perfecționarea ulterioară a modelelor matematice.