Revendicarea 3. Dimensiunea spațiilor vectoriale.
Teorema. (Dimensiunea liniară a carcasei).
Lăsați V - spațiul vectorial peste K, și - un sistem arbitrar de vectori în V. Apoi,
în cazul în care sistemul de vectori - sunt liniar independente, atunci acest sistem este baza deschiderii liniare și.
Dovada. Din definiția deschiderii liniare care sistemul generează vector spațiu de sistem. Prin ipoteză, sistemul este calea independent, prin urmare, este baza duratei de L liniare, QED
Teorema. Orice vector subspațiul L finit spațiu vectorial V în sine este finit și, și, dacă este apoi.
1) Dacă L - subspațiul nul, prin definiție, se presupune dimensiunea finită și, prin definiție, se presupune a fi zero.
2) Să presupunem acum, L - subspațiul nenul și există un vector nenul. Apoi, sistemul unui singur vector nenul este liniar independent.
Să presupunem că subspațiul L nu are vectori finit sistem de generare. Apoi subspațiul L nu are un maxim liniar sistem independent de vectori, deoarece orice maximală liniar sistem independent este generatoare de sistem (vezi. Demonstrația patru echivalente cu definiția bazei, punctul de tranziție a) dovada).
Astfel, sistemul este calea independent, dar nu are maximum. Prin urmare, există un vector astfel încât sistemul este liniar independent și nu maxim. Continuând, am ajuns la un sistem liniar independent de vector-lea al subspatiului L. Dar vom obține o vectori liniar independenți ai unui sistem de spațiu vectorial V în care numărul de vectori mai mare decât dimensiunea sa, ceea ce este imposibil. Această contradicție demonstrează că orice vector subspațiul L finit spațiu vectorial V are un sistem de generare finit în sine este finit.
Mai mult, orice spațiu finit dimensional vectorial are o bază. Să - baza subspatiului L, atunci. Deoarece sistemul va avea un sistem liniar independent nu este un vector de vectori de spațiu V, iar numărul vectorilor depășesc în acesta dimensiunile sale, și anume , QED
2) În cazul în care, atunci L este o bază pentru baza subspațiu al spațiului și V, deoarece sistemul este liniar și independent. În consecință ,.
Corolar. Orice vector de bază subspatiu poate fi completat la o bază a întregului spațiu.
Dovada. Orice vector subspațiul vectorial bază spațiu V este liniar set independent de vectori ai unui spațiu vectorial V, care poate fi extinsă la o bază.