§ 7. mijlocul triunghiului și linia de Euler
Triangle obținută prin conectarea punctelor mediane ale laturilor triunghiului sunt numite mijlocul triunghiului. Figura 15 Triunghiul A'B'C „este mijlocul ABC triunghi. Luați în considerare, de asemenea, cele două AA mediană „și BB“. intersectându O. Două dintre înălțimea ABC. intersectându-se un punct și două înălțimi H. A'B'C triunghi“. intersectându O. Este uimitor cât de mult puteți afla doar prin studierea acest desen.
În primul rând, părțile triunghiul A'B'C „sunt paralele cu laturile triunghiului ABC. Prin urmare, aceste triunghiuri sunt similare. Mai mult, C 'B' = 1 februarie aceasta; B C. astfel încât raportul dintre lungimile oricare două segmente corespunzătoare (și nu numai acele părți) va fi egal cu 1, 2, de fapt, segmentele B'C“. C'A“. A'b „triunghiul ABC divide în patru triunghiuri congruente. Apropo, punctul P - B'C segmentul de mijloc „- este, de asemenea, punctul de mijloc al segmentului AA“.
În continuare vom vedea că AC'A'B „- un paralelogram, prin urmare, AA directă“ bisects segmentul B'C“. De aceea minciuna triunghi median A'B'C“la medianele triunghiului ABC. ceea ce înseamnă că cele două triunghiuri au aceeași centroida G.
Înălțimea A'B'C triunghi“. ne-a arătat în imagine, sunt midperpendiculars laturile AB si BC ABC triunghi. De aici putem trage concluzia că punctul O - orthocenter A'B'C triunghi „- este în același timp și centrul cercului circumscris triunghiului ABC.
Deoarece punctul H - orthocenter triunghiului ABC. și punctul O - l orthocenter place A'B'C triunghi“. care | AH | 2 = | OA „|. Să ne amintim că, prin teorema 1.32 | AG | = 2 | GA „|. În cele din urmă, din moment ce ambele segmente, AD și OA“. perpendicular lateral BC. atunci ele sunt paralele. Prin urmare,
Acest lucru arată că punctul O. G, H sunt coliniare *) și | HG | = 2 | GO „| .., adică echitabil
Teorema 1.71. Orthocenter, centroid și centrul cercului descris de o minciună triunghi arbitrar pe o singură linie. Se împarte distanța centroid de la orthocenter la circumscris împotriva 2 1.
Direct, pe care sunt aceste trei puncte, numit linia Euler a triunghiului.
*) Punctele se numesc coliniare dacă se află pe aceeași linie. - Aprox. Trans.
Să examinăm mai îndeaproape Figura 15. Am observat punctul în care linia HO N. Euler trece linia care trece prin punctul P segmentul B'C perpendicular“. Toate cele trei linii de AH, PN și A'O. perpendicular pe lungimea B'C“. paralel. Din moment ce | AP | = | PA „|, atunci linia dreaptă echidistant față de liniile PN AH și A'O. Prin urmare, punctul N - punctul de mijloc HO.
Până în prezent, în discuția noastră prezentat din partea B'C „triunghiul A'B'C“. Dacă vom efectua aceleași argumente, ci pentru orice altă parte a triunghiului, atunci segmentul HO va rămâne același, și el va împărtăși jumătate perpendiculara pe noua parte. Deoarece segmentul HO doar un singur mijloc, putem spune că la mijlocul anilor perpendiculare din toate cele trei laturi ale triunghiului A'B'C „va trece prin punctul de N. Cu alte cuvinte, punctul N ar trebui să fie centrul cercului circumscrie A'b triunghi“ C“.
Deci, centrul cercului circumscris în jurul mijlocul triunghiului se află în mijlocul segmentului HO directă triunghi original, Euler. În plus, din moment ce triunghiul A'B'C „similar cu triunghiul ABC. raza cercului circumscris despre mijlocul triunghiului este egală cu jumătate din raza cercului circumscris triunghiului original.
Numele Euler apare atât de des și în atât de multe domenii ale matematicii, este imposibil să nu spun câteva cuvinte. Leonhard Euler sa născut în 1707 în Basel (Elveția). În 1727 a fost invitat în România la Academia. În 1741 a plecat la Berlin pentru a obține catedra de matematică de la Academia prusac. El a revenit la București în 1766 și a rămas acolo până la moartea sa în 1783.
exerciții
1. Desenați o versiune nouă a figurii din 15, pe baza figurii 2 (în loc de utilizat anterior figura 1), asigură că dovada noastră teoremei 1.71 rămâne valabilă pentru cazul unui triunghi în unghi obtuz ABC.
2. | OH | 2 = 9R 2 - 2 - b 2 - c 2.
4. În cazul în care triunghiul ABC are proprietatea ca Euler sa linie paralelă cu BC lateral. că tg af; B ^ · tg af; C ^ = 3.