După cum sa arătat în Sec. 3.2 matrice simetrică poate fi redusă prin utilizarea transformărilor similaritate cu tridiagonal formei. În plus, matricea de trei diagonală de interes independent, deoarece acestea apar în practică de calcul, și de multe ori au nevoie pentru a găsi propriile lor valori și vectori proprii. Să considerăm o matrice cu trei diagonală a formei
Aici elementele b 1, b 2, b ... nraspolozheny de-a lungul diagonalei principale; c1, s2.cn-1 - pe ea; a2, 3, ..., o - sub ea.
Pentru a găsi valorile proprii, este necesar de a egala la zero a determinantului sau
determinant arbitrara de ordinul n poate fi exprimată prin n minori (n-1) - th comanda prin descompunerea acestuia pe elementele orice rând sau coloană. Extindem determinantul (3.15) de pe ultima linie a elementelor, în care doar două elemente de zero. obținem
Deoarece minoră ultima coloană conține doar un element nenul cn-1. apoi, extinderea acesteia pe elementele acestei coloane, obținem
Substituind această expresie în (3.16), obținem relațiile de recurență, exprimând minore termeni de ordin superior minorilor din două ordinul inferior:
Să. Minor primul a11 element de comandă este determinant, adică, în acest caz, vom verifica dacă valorile de corectitudine cu formula (3.17), cu n = 2:
Minor calcul al doilea factor determinant ordin (3.15), observăm că expresia (3.18). Astfel, folosind relațiile de recurență (3.17) putem găsi expresia pentru caracteristica Dn polinomul (# 955;) pentru fiecare. Calculând rădăcinile acestei polinomului, obținem autovalorile matricei tridiagonal (3.14).
Presupunem că valorile proprii # 955; 1 # 955; 2. # 955; n matrice (3.14) se calculează. Ne găsim vectorii proprii corespunzătoare. Pentru orice eigenvector eigenvalue este sistemul de ecuații (3.4)
Noi pornim de notație matrice acest sistem la un dislocat (A - formă de matrice (3.14)):
Sistemul Matrix (3.19) este degenerată ca determinant său (3.15) este egal cu zero. Putem arăta că, dacă ultima ecuație din (3.19) este o consecință a ecuațiilor rămase. Într-adevăr, dacă ignorăm prima coloană și ultimul rând al matricei A, atunci în loc de (3.15) obținem determinantul formei
Prin urmare, toate rândurile din primul (n -1) rânduri sunt liniar independente -lea, ultima ecuație (3,19) - o consecință a celorlalți, și unul necunoscut acest sistem este gratuit. Îndepărtând ultima ecuație (3,19), am scrie în forma
Presupunând componenta x 1svobodnym necunoscut și setarea ei egală cu orice nenulă valoare (în alte când x 1 = 0, componentele rămase vor fi de asemenea zero) poate fi de la (3.21) pentru a găsi succesiv celelalte componente: prima ecuație este ușor de calculat x 2, din a doua x comunicatii etc. de la ultima HP. Deoarece determinantul (3,20), acest sistem nu este zero, atunci are o soluție unică. vectori proprii metoda descrisă corespunzătoare tuturor valorilor proprii pot fi găsite # 955; 1 # 955; 2. # 955; n matrice tridiagonal (3.14).
Dacă trehdiagodalnaya matrice obținută ca rezultat al transformărilor secvenței de similaritate cu matrice simetrică inițială, așa cum sa menționat deja, toate valorile proprii ale unei matrice tridiagonal sunt simultan valorile proprii ale matricei originale și vectorii proprii recalculată conform formulelor (3.13). Astfel, pentru a calcula vectorii proprii produsului matrice matrice tridiagonal nepractică, deoarece prin înmulțirea Pij matrice-vector x este schimbat doar două dintre componentele sale: xi și xj. Prin urmare, ca aceste componente să ia valori și care reduce cantitatea de calcul, comparativ cu matrice de multiplicare Pij printr-un vector x.