Funcția este definită pentru toate complexe, și are zerouri pentru numere întregi negative. Din ecuația funcțională și exprimarea explicită atunci rezultă că toate celelalte zerouri, numite „non-triviale“, situată într-o bandă simetric față de așa-numita „linie critică“. Ipoteza Riemann afirmă că:
Toate zerourile netriviale ale funcției zeta au parte reală egală
Ipoteza Riemann generalizate este de aceeași aprobare pentru generalizarea zeta funcțiilor, numit Dirichlet L-funcții.
istoria juridică
După cum se știe, nu există nici legi simple, care descriu distribuția numerelor prime printre naturale. Riemann a constatat că numărul de amorse care nu depășește x. exprimate în ceea ce privește distribuția de nontrivial funcției zeta zero.
În 1896 Hadamard și Vallée Poussin a dovedit că în mod independent, zerourile funcției zeta nu poate sta pe liniile drepte și.
În 1901, Helge von Koch a arătat că ipoteza Riemann este echivalentă cu următoarea declarație cu privire la distribuirea de numere prime:
În general, multe dintre afirmații despre distribuția numerelor prime, inclusiv complexitatea unor algoritmi întregi. a demonstrat ipoteza de loialitate a ipotezei Riemann.
In 1914, Hardy a demonstrat că pe linia critică este un număr infinit de zerouri, iar mai târziu Hardy și Littlewood a dat o estimare mai mică a proporției de zerouri situată pe linia critică, care apoi îmbunătățit diferitele matematică.
Unele zerouri non-triviale sunt situate foarte aproape una de alta. Această proprietate este cunoscut sub numele de „fenomenul Lemaire (Lehmer)».
Titchmarsh, Voros în 1987 a arătat că funcția zeta poate fi descompus în produs prin zerouri sale netriviale în extinderea Hadamard.
Grupul de matematicieni de la Universitatea Pardo (Universitatea Purdue, SUA), sub conducerea Lui De Branges de Bursa (Louis De Branges de Bourcia) a oferit dovada ipoteza Riemann, care mai târziu a fost respins de: [2]
Trivia
celebru răspunsul lui Hilbert la întrebarea de ce s-ar fi acțiunile sale, în cazul în care pentru un motiv oarecare somn timp de cinci sute de ani și dintr-o dată se trezește. Matematicianul a spus că primul lucru pe care la făcut a fost întreba, era dacă ipoteza Riemann este dovedită.