Astfel, întreaga elementele B - tocmai rădăcinile polinoamelor arătate A. Dacă fiecare element al lui B este un A. Inelul B este numit rasshireniemA integral (sau pur și simplu „inel integral peste A»).
Dacă A și B - pas. termenii „integrale peste“ si „extensie integrală“ corespunde termenului „algebric peste“ si „extensia algebric.“ Caz special, deosebit de important în teoria numerelor - numere complexe. sunt parte integrantă peste Z. Ele se numesc numere întregi algebrice.
Setul tuturor elementelor A. B. ansamblu formează un inel; este numit un întreg circuit de zamykaniemA B. Integer numere raționale într-un câmp de extensie finit k Q este numit un inel de numere întregi de k. Acest loc este fundamental pentru teoria numerelor algebrice.
Mai târziu, în acest articol, cuvântul „inel“ se înțelege un „inel comutativ cu identitate.“
- Întregi - singurele elemente sunt parte integrantă peste Q. Z. Într-o anumită măsură, clarifică originea „întregului“ al termenului.
- integer Gauss. ca elemente ale numerelor complexe, sunt parte integrantă peste Z.
- Să ζ - o rădăcină de unitate. Integrala Z închidere într-un câmp circular Q (ζ) - este Z [ζ].
- Dacă k ¯ >> - închiderea algebrică a lui k. k ¯ [x 1. .... x n]> [x _, \ puncte, x _]> este integral peste k [x 1. .... x n]. , \ Puncte, x _].>
- Lăsați grupul finit G acționează asupra inelului morfisme inelul A. Atunci A este parte integrantă peste un set de elemente, care sunt punctele fixe ale grupului de acțiune.
Să b - membru al inelului B. A - B. subinel următoarele afirmații sunt echivalente:
- b este un număr întreg de A;
- Subinel A [b] ciclul B este un A-modul finit;
- Acolo subinel inelul C conținând A și B. b. și A este un modul de-finit;
- Un modul Există număr finit M astfel încât inelul B. bM ⊂ M de la b'M = 0, rezultă că b „= 0.
Din a treia proprietate este ușor de dedus că setul de elemente, numere întregi A. mai sus este subinel B (închis sub plus și de multiplicare) se numește închiderea integrală a A la B. Dacă numărul întreg coincide cu închiderea de inel A. A numit integral închis în B.
„Intact“ este o relație tranzitivă: dacă inelul C este parte integrantă peste B și B A. integral asupra integralei peste C A.
De asemenea, de-a treia proprietate că, dacă B este parte integrantă peste A. B este asocierea (sau, echivalent, limita directă) subrings care sunt A-module număr finit.
Fie A - inel integral închis cu câmpul câtul K și L - extensie finită a K. Apoi elementul L este parte integrantă peste A dacă și numai dacă coeficientii sale minimale polinomiale aparțin A. Aceasta este o condiție mai puternică decât integritate, ceea ce este suficient pentru existența unui polinom arbitrar cu această proprietate. Orice inel factorial este integral închisă.
Fie A - inel integrantă noetheriene. Atunci A este închis integral dacă și numai dacă (1) A este intersecția tuturor siturilor A de prim și (2) Localizarea ideală a A la înălțimea primului ideal de 1 (adică, care nu conțin alte amorse nenule) - inel Dedekind. De asemenea, noetherian închise integral dacă și numai dacă acesta este un inel Krull.
inel normale
Complet inele integral închise
Fie A - domeniu integral, K - domeniul de fracțiuni. Un element numit un câmp privat x aproape integral peste A. dacă există d ∈ A. că d x n ∈ A \ în A> pentru orice număr natural n. Inelul A este complet închis integral. în cazul în care oricare dintre ele aproape întreg elementul este conținută în A. Complet integral inele închise, sunt închise integral. In schimb, noetherian inele integral închise complet închise integral.
Inelul de serii de puteri formale peste un inel complet integral închis complet închis integral, în timp ce acest lucru nu este valabil pentru inele integral închise arbitrare.
Proprietățile locale ale integral închise
Următoarele condiții pentru inelul A echivalent holistică:
- O integral închisă;
- O localizare conform cu oricare prim ideală integral închisă;
- O localizare conform oricărei ideale maximale integral închisă.
- Dacă localizare ↑ inel comutativ R peste toate idealurile maximale nu conțin nilpotents (de exemplu integritate), atunci R nu le conține. Dovada. Fie x - elementul nenul R și x n = 0. Ann (x) (elementele, multiplicare pentru care nuluri x) conținută într-un mod ideal maximal m >>. Imaginea x în localizarea m >> - nenulă, altfel x s = 0 pentru unele s ∉ m >>. contradicție. Prin urmare, localizarea la m >> R conține o nilpotence nenul.
- ↑ Matsumura 1989, p. 64
- Bourbaki, algebra comutativă.
- Kaplansky Irving. Inele comutative. - Universitatea din Chicago Press, 1974. - ISBN 0-226-42454-5.
- Matsumura, Hideyuki (1989), Teoria comutativă Ring, Studii Cambridge în matematică Avansate (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6.