Formula recurență

Formula recurență - formula formei $a\_n\; =\; f\; (n,\; a\_,\; a\_,\; \backslash \; dots,\; a\_)$, exprimând fiecare termen al secvenței $a\_n$ prin $p$ Membrii anterioare și, eventual, un termen de secvență $n$.

Probleme generale de calcul cu ajutorul formulelor de recurență este subiectul teoriei functiilor recursive.

Ecuația recurență este o ecuație care se referă la numărul de membri succesive ale unei secvențe numerice. Secvența satisface această ecuație se numește o secvență recurentă.

1 n = 0; \\ (n-1)! \ N cdot, n \ geqslant 1. \ end

1 n = 1; \\ F_ + F_, n \ geqslant 2. \ end

• Valoarea integralei $\backslash \; Textstyle\; I\_n\; =\; \backslash \; int\; \backslash \; păcătui\; ^\; n\; x\; \backslash ,\; dx$ satisface formula recursie: $I\_n\; =\; \backslash \; frac\; x>\; +\; \backslash \; fracI\_.$

• Soluția ecuației diferențiale Bessel $y\; +\; (1\; /\; x)\; y\; „+\; (1-\; \backslash \; Nu\; ^\; 2\; /\; x\; ^\; 2)\; y\; =\; 0$ Acesta poate fi scris ca o serie de putere: $y\; =\; \backslash \; sum\; \backslash \; limits\_\; ^\; a\_n\; x\; ^.$

• Lungimea laterală prin dublarea numărului de laturi ale inscripționate regulate n-gon. $o\; \_\; =\; \backslash \; sqrt\; >>,\; \backslash \; n\; prototipurilor\; \backslash \; ge\; 2,$

Liniare Ecuatii repetiție

relație lineară de recurență cu coeficienți constanți are forma:

aici $n$ - numere întregi non-negative, $f\_$ - o secvență de numere, $a\_,\; a\_,\; \backslash \; ldots,\; a\_$ - constante, $a\_\; \backslash \; ne\; 0$, $\backslash \; Varphi\; (n)$ - având în vedere funcția de $n$.

Omogeni liniare Ecuatii repetiție

Să presupunem că o secvență de numere $f\_,\; f\_,\; puncte\; \backslash$ satisface o ecuație omogenă recurență liniară $f\_\; +\; a\_f\_\; +\; a\_f\_\; +\; \backslash \; ldots\; +\; a\_f\_\; =\; 0$, unde $n$ - numere întregi non-negative, $a\_,\; \backslash \; ldots,\; a\_$ - constante prestabilite, și $a\_\; \backslash \; ne\; 0$.

Vom nota cu $F\; (z)$ funcţia generatoare $f\_,\; f\_,\; puncte\; \backslash$. Noi construim un polinom $K\; (z)\; =\; 1\; +\; a\_z\; +\; a\_z\; ^\; +\; \backslash \; ldots\; +\; a\_z\; ^$. Acest polinom poate fi privit ca funcție generatoare $1,\; a\_,\; a\_,\; \backslash \; ldots,\; a\_,\; 0,\; 0,\; \backslash \; dots$. Luați în considerare produsul funcțiilor generatoare $C\; (z)\; =\; F\; (z)\; K\; (z)$. factor $C\_$ la $z\; ^$ și $r>\; 0$ determinată de relația $C\_\; =\; f\_\; 0\; +\; \backslash \; ldots\; +\; f\_\; 0\; +\; f\_\; a\_\; +\; \backslash \; ldots\; +\; f\_\; 1\; =\; f\_\; +\; a\_f\_\; +\; \backslash \; ldots\; +\; a\_f\_$ și zero. Acest lucru înseamnă că polinomul $C\; (z)$ Ea deține mai $r-1$, prin urmare, gradul de numărătorul funcției raționale $F\; (z)\; =\; \backslash \; frac$ mai mică decât cea a numitorul.

Polinomul caracteristic unei ecuații liniare recurență este un polinom $g\; (z)\; =\; z\; ^\; +\; ^\; a\_z\; +\; \backslash \; ldots\; +\; a\_$. Rădăcinile acestui polinom se numește caracteristica. Polinomul caracteristic poate fi scrisă ca $g\; (z)\; =\; (z-\; \backslash \; alpha\; \_)\; ^>\; (z-\; \backslash \; alpha\; \_)\; ^>\; \backslash \; cdots\; (z-\; \backslash \; alpha\; \_)\; ^>$, unde $\backslash \; Alpha\_,\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; alpha\_$ - rădăcini diferite caracteristice, $e\_,\; \backslash \; ldots,\; E-$ - multiplicitatea rădăcinilor caracteristice, $e\_\; +\; e\; \_\; +\; \backslash \; ldots\; +\; e\_\; =\; r$.

Polinomul caracteristic $g\; (z)$ și polinomul $K\; (z)$ sunt legate de $K\; (z)\; =\; z\; ^\; g\; (\backslash \; frac)$. Astfel,

Funcția rațională poate fi scris ca o sumă de fracții:

Fiecare împușcat în această expresie are forma $\backslash \; Beta\; (alfa\; z\; 1\; \backslash )\; ^$, astfel încât să poată fi extins într-o serie de putere a formei

coeficientul de $z\; ^\; n$ acest număr este egal cu

Prin urmare, funcția de generare $F\; (z)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; ^\; (\backslash \; sum\_\; ^\; P\_\; (n)\; \backslash \; alpha\; \_\; ^)\; z\; ^$ și $f\; \_\; =\; \backslash \; sum\_\; ^\; P\_\; (n)\; \backslash \; alpha\_\; ^$ este soluția generală a ecuației recurență liniare, în cazul în care $P\_\; (n)$ - polinom $n$ gradul cel mai $e\_-1$.

Să presupunem că doriți să găsiți o soluție $f\_-f\_\; +\; f\_\; =\; 0$ condiții la limită c $f\_\; =\; 1$ și $f\_\; =\; 1$.

aplicaţii

Există o formulă care exprimă termenul general al unei secvențe recurente liniare prin rădăcinile polinom caracteristic. De exemplu, pentru secvența Fibonacci astfel formula este formula Binet. Formulele de recurență sunt utilizate pentru a descrie momentul algoritmului recursiv pentru a avea acces la sine. În această formulă, timpul necesar pentru soluția a volumului de intrare n. exprimate în termeni de timp a deciziei de suport sarcinile secundare. [1]

notițe

literatură

articole similare

• Formula recurență - l

• Cum de a face formule și ecuații de diplomă

• punct de rouă - - Teplonadzor calcularea formulei și vizualizare