O combinație liniară a vectorilor este vectorul
unde - coeficienții combinației liniare. În cazul în care combinația este declarat a fi banal, dacă - un non-triviale.
dependență liniară și independența vectorilor
Sistemul de care este dependentă liniar
Sistemul este liniar independent
Criteriul de dependență liniară a vectorilor
Pentru vectori (r> 1) sunt liniar independente dacă și numai dacă cel puțin unul dintre acești vectori este o combinație liniară a celorlalte.
Dimensiunea spațiului liniar
Spațiul V liniar se numește n-dimensional (având dimensiunea n), dacă este:
1) există n vectori liniar independenți;
2) orice sistem de n + 1 vectori sunt liniar dependente.
Desemnări. n = V dim; .
Sistemul de vectori se numește liniar dependent dacă există un naborchisel nenul astfel încât combinația liniară
sistem de vector este numit liniar independent dacă combinația liniară dispare
ar trebui să fie egal cu zero toți coeficienții
Problema dependenței liniare a vectorilor este în general redusă la problema existenței unor soluții nenule în sistem omogen de ecuații liniare cu coeficienți egale cu componentele corespunzătoare ale datelor vectoriale.
Pentru a afla mai bine conceptul de „dependență liniară“, „independență liniară“ de vectori, este util pentru a rezolva problemele de tipul următor:
11. Lіnіyna zalezhnіst.І I II kriterії lіnіynoї zalezhnostі.
Sistemul de vectori sunt liniar dependenți dacă și numai dacă unul dintre sistem vector este o combinație liniară a vectorilor rămași ai sistemului.
Dovada. Lăsați sistemul de vectori este liniar dependent. Apoi, există un set de coeficienți. asta. și cel puțin un coeficient este diferit de zero. Să presupunem că. atunci
care este o combinație liniară a altor vectori ai sistemului.
Au un sistem de vectori este o combinație liniară a altor vectori. Să presupunem că este un vector. adică. Este evident că. Am descoperit că o combinație liniară a vectorilor este egal cu zero, iar unul dintre coeficienții diferiți de zero (egal).
Oferta de sistem vector 10.7Esli conține dependența liniară a subsistemului, întregul sistem este liniar dependent.
Lăsați sistemul de vectori subsistemului. . Este dependentă liniar, adică. și cel puțin un coeficient este diferit de zero. Apoi, vom forma o combinație liniară. Evident, această combinație liniară este egală cu zero, și există un coeficienți nenuli între.
12. Baza SISTEMI vektorіv, її principal vlastivіst.
Baza de sistem vector nenul este numit un subsistem liniar independent echivalent. Sistemul Zero-bază nu are.
Proprietatea 1:
sistem liniar independent de bază coincide cu ea însăși.
exemplu:
Sistemul de vectori liniar independenți, deoarece nici unul dintre vectorii pot fi liniar degenera prin restul.
Proprietatea 2: (Criteriul de bază)
subsistem independent de acest liniar sistem este baza sa, dacă și numai dacă este liniar independent posibil.
dovada:
sistemul Dana
nevoie
Lăsați baza.
Apoi, prin definiție, și în cazul în care. în cazul în care. Sistemul este liniar dependent, deoarece vyrozhaetsya liniar prin. în consecință, este posibil liniar independente.
suficiență
Să maximul subsistemului liniar independent, apoi în cazul în care.
liniar dependentă liniar vyrozhaetsya deci prin baza sistemului.
Proprietatea 3: (Principala proprietate de bază)
Fiecare sistem de vector vyrozhaetsya prin bază într-un mod unic.
evidență
Lăsați vyrozhaetsya vectorul prin bază în două moduri, atunci:
. atunci
13. Sistemul de ranguri vektorіv.
Definiție: Sistemul de rang nenuli vectori spațiu vectorial este numărul de vectori ai bazei sale. Sistemul Rank zero, prin definiție, zero. Proprietățile de rang 1) Locul de sistem liniar independent coincide cu numărul vectorilor săi. 2) Rangul este liniar sistem dependent ea mai mic decât numărul de vectori. 3) Rândurile sisteme echivalente sunt aceleași - rang rang. 4) Grad conform sistemului este mai mică sau egală cu sistemul ierarhic. 5) În cazul în care rangul rang. apoi au o bază comună. 6) Sistemul Rank nu se schimbă, dacă se adaugă un vector, care este o combinație liniară a altor vectori ai sistemului. 7) Sistemul Rank nu se schimbă dacă se îndepărtează din vectorul care este o combinație liniară a altor vectori.
Pentru a găsi sistemul vectorial de rang, trebuie să utilizați Gauss și să aducă sistemul la o formă triunghiulară sau trapezoidală.
14. Ekvіvalentnі SISTEMI vektorіv.
Transformarea datelor vectoriale în matrice pentru a găsi baza.
obținem:
Acum, cu ajutorul lui Gauss va preobrazoyvavat matrice trapezoidală în minte:
1) În matricea noastră de bază, vom anula întreaga prima coloană cu excepția primei linii din a doua scade prima multiplicate cu. de la o treime scade prima înmulțit cu. și din nimic chetvotoy nu ne vom ocupa ca al patrulea rând al primului element, adică intersecția primei coloane și al patrulea rând este zero. Obținem o matrice:
2) Acum, în matrice. linii interschimb 2, 3 și 4 pentru ușurința soluțiilor care ar plasa elementul a fost edenitsa. Al patrulea rând aprovizionare interschimb în locul celui de al doilea, al treilea, în locul celei de a doua și a treia la a patra poziție. Obținem o matrice:
3) Matricea anuliruem toate elementele de sub elementul.
Ca parte a noului nostru matretsi la zero, nu ia departe de al patrulea rând, iar al treilea se va adăuga un al doilea înmulțit cu. Obținem o matrice:
4) interschimba Iarăși matrice în rândurile 3 și 4 poziții. Obținem o matrice:
5) Matricea pentru a adăuga al treilea rând chervotroy înmulțit cu 5. obține matrice. care va avea o formă triunghiulară:
Sistem. rândurile lor sunt aceleași din cauza rangul de proprietăți și rangul lor este rang de rang
observații:
1) Spre deosebire de metoda tradițională de Gauss, atunci când șirul matricei toate elementele sunt împărțite într-un anumit număr, nu avem dreptul de a reduce rândul matricei, în virtutea proprietăților matricei. Dacă dorim să reducem șirul de la un anumit număr, este necesar să se reducă întreaga matrice prin acel număr.
2) Dacă vom obține un rând liniar independent, putem elimina din șablonul nostru și să înlocuiască linia de zero.
exemplu:
Imediat evident că a doua linie este exprimată prin prima, în cazul în care prima multiplicate de 2 ori.
In cazul in care Chiaki putem înlocui întreaga doua linie la zero. obținem:
Ca rezultat, există o matrice sau triunghiulară sau trapezoidală în minte unde nu are vectori liniar independenți ai tuturor vectorilor nenule ale matricei și matricea va fi o bază și rangul lor număr.
Acesta este doar un exemplu al unui sistem de vectori sub forma unui grafic:
Având în vedere un sistem în care. . și. Baza acestui sistem este evidentă și va vectori. pentru că prin ele exprimate vectori.
Acest sistem este într-o formă grafică va arăta:
15. Elementarnі peretvorennya. Sistemi stupіnchatogo minte.
matrice elementara - astfel este matricea de transformare, care rezultă în echivalența matrice salvată. Astfel, transformările elementare nu se schimba setul de soluții ale unui sistem de ecuații algebrice liniare, care reprezintă această matrice.
transformări elementare utilizate într-o metodă de conducere a matricei Gauss a triunghiulara sau forma în trepte.
Transformările rând elementare denumite:
· Inversion oricăror două rânduri ale matricei;
· Multiply orice rând matrice cu o constantă. . în acest caz, factorul determinant crește ori k;
· Adăugarea la orice linie alt rând al matricei.
In unele cursuri de algebra liniară rând matricea de permutare nu iese într-o transformare elementară separată datorită faptului că inversarea oricăror două rânduri de matrice pot fi obținute folosind orice rând înmulțirii matricei printr-o constantă. și plus față de orice altă linie rând al matricei înmulțit cu o constantă. .
Sunt definite coloane transformări elementare în mod similar.
transformări elementare sunt inversabile.
Desemnarea indică faptul că matricea poate fi obținută prin intermediul unor transformări elementare (sau invers).