Teorema. Pentru orice câmp vectorial de două ori diferențiabilă Un câmp rotor A este solenoidali:
Dovada 1. Lăsați buclă L este întinsă o anumită suprafață S. prezentat în figura 1.
Fig. 1. Atunci când conturul de contracție la punctul L suprafața de delimitare dispare, iar suprafața devine închisă.
Dacă câmpul vectorial Un curs în zona delimitată de L. atunci bucla de circulație de către A L tinde spre zero contracția punctului de contur. Apoi, prin teorema lui Stokes
Conform Gauss teorema Ostrogradskii, câmpul vectorial de flux prin suprafața închisă este o integrală triplă a divergenței acestui domeniu. Prin urmare,
Având în vedere arbitrariul câmpului intngrirovaniya dispariție a conduce integrale la dispariția integrandul în orice punct al spațiului.
Astfel, pentru orice câmp vectorial A
Dovada 2. Alegeți un neted S arbitrar suprafață închisă și circuitul său surround, prezentat în figura 2.
Fig. 2. Suprafața S. înconjurată de curba închisă L.
Vector Circulation câmpului Un contur L este zero, care, conform teoremei lui Stokes implică dispariție Un flux rotor printr-o suprafață închisă S. Apoi - teoreiy datorită Ostrogradskii Gauss - zero și integrală triplă a divergența rotorului pe zonele A delimitată de suprafața S.
Rearanjarea termeni, obținem
Dacă câmpul vectorial A și derivații săi parțiale sunt funcții continue, proizyodnve mixt nu depinde de ordinea de diferențiere și, prin urmare,