Aici - simbolul Kronecker.
Să demonstrăm următoarea declarație.
9.1 Teorema. În orice spațiu euclidian n-dimensional are o bază ortonormală.
Dovada. Fie x 1 x 2, ..., xn - baze arbitrare de V. Fie. Să mai departe. în cazul în care numărul este ales astfel încât vectorii v 2 și u 1 sunt ortogonale, adică. e.
Din moment. atunci se pare că
La această valoare vector ortogonal u v 2. Normalizarea 1. vedem că vectorii u 1 formează o pereche ortonormal. Mai mult, punerea și îmbarcarea și, astfel încât condițiile și. considerând vectori ortonormalitate u 1 și u 2. obține
Normalizarea v 3. obține vectorul. care, împreună cu u 1 și u 2 formează un sistem de trei vectori ortonormate. Continuând acest proces, după n pași obținem n vectori ortonormate u 1. u 2, ..., ONU. care formează o bază ortonormală.¨
Specificate în Teorema 9.1 algoritm pentru construirea unei baze ortonormală numit procesul de Gram ortogonalizarea - Schmidt *, care, având în vedere complexitatea sa, considerăm mai detaliat.
EXEMPLUL 3 vectori ortonormate x 1 = (1, 0, 0), x 2 = (- 2, 1, 2) și x 3 = (1, - 1, 0) până la R3 cu produsul interior dat de formula ( 9.1).
Am găsit o expresie a produsului intern în coordonatele vectorilor x și y. specificate într-o bază ortonormală arbitrară a spațiului V Euclidian.
vectori în V. Apoi, prin axiomele 2 ° și 3 ° din §9.1 obținem
Deci, într-o bază ortonormală produsul scalar a doi vectori este egală cu suma produselor cu același nume coordonatele acestor vectori.
Clarifica semnificația coordonatele unui vector x arbitrar într-o bază ortonormală.
9.2 Teorema. Coordonatele vectorului într-o bază ortonormală sunt ska produsul intern al vectorului care corespunde vectorilor de bază.
Astfel, baza de ortonormală coordonatele vektoraxv sunt proiecțiile în vectorii de bază corespunzătoare.
Reprezintă o descompunere a unui vector x arbitrar într-o bază ortonormală u 1. u 2, ..., spațiu Euclidian un.