Matrix algebra - matrice elementara
matrice elementară
matrice elementară sunt utilizate pe scară largă în diverse probleme matematice. De exemplu, ele sunt baza cunoscutului Gauss (metoda de eliminare necunoscută) pentru rezolvarea unui sistem de ecuații liniare [1].
Prin transformări elementare includ:
1) două permutarea rânduri (coloane);
2) multiplicarea elementelor tuturor rândurilor (coloane) matrice într-un număr egal cu zero;
3) adăugarea a două rânduri (coloane) ale matricei înmulțit cu același număr diferit de zero.
Două matrici sunt numite echivalente. în cazul în care una dintre ele pot fi obținute de la celălalt după un număr finit de transformări elementare. În cazul general, ele nu sunt echivalente cu matrice egale, dar au același rang.
determinanți de calcul prin transformări elementare
Folosind transformările elementare se calculează cu ușurință determinantul matricei. De exemplu, este necesar să se calculeze determinantul matricei:
unde ≠ 0.
Apoi, putem face un multiplicator.
Acum, prin scăderea din elementele j - lea elemente stolbtsasootvetstvuyuschie din prima coloană înmulțit cu, obținem determinant:
care este egală cu: unde
Apoi, repetați aceiași pași pentru, și în cazul în care toate elementele atunci vom obține în cele din urmă:
Dacă pentru orice factor determinant intermediar se dovedește că celula din stânga sus. este necesar să se rearanjeze rânduri sau coloane VTAK la noul membru din stânga sus nu a fost zero. Dacă Δ ≠ 0, atunci acesta poate fi întotdeauna făcut. Trebuie avut în vedere faptul că determinantul modificărilor semn în funcție de care element este principalul (de exemplu, astfel încât atunci când matricea este transformată că). Apoi, semnul determinantul corespunzător este.
EXEMPLU EXEMPLU. Folosind matricea de transformare elementare conduce
formă triunghiulară.
. R e w n e multiplice mai întâi primul rând 4 și al doilea (-1) și se adaugă primul rând la al doilea:
Acum multiplica primul rând 6 și al treilea de (-1) și se adaugă primul rând la al treilea:
În cele din urmă, a doua linie se înmulțește cu 2 și a treia la (-9) și se adaugă oa doua linie la al treilea:
Rezultatul este o matrice triunghiulară superior