Acest tip include ecuația integrală cu un nucleu care seamănă cu următorul:
Particularitatea de ordinul a nu mai mult.
--- nucleu continuu.
Teorema 2.5.1: (Arzela Ascoli) un spațiu metric cu metrica. relativ compactă dacă și numai dacă toate funcțiile incluse într-un mod uniform mărginit și equicontinuous.
Notă: Setul este relativ compact, dacă închiderea acesteia este compact. Se poate demonstra că operatorii compact dețin toate teoremele Fredholm.
Teorema 2.5.2: pentru operatorul integral cu nucleu polar deține toate teoremele Fredholm.
Dovada.
Dovada se bazează pe faptul că operatorul cu un nucleu compact polar. Este suficient să se verifice dacă
compact. Să lucreze în .Kritery compactitatea teorema Arzela-Ascoli.
1. uniform delimitate:
2. equicontinuity:
Compact (complet continuu) operatorul mapează un set mărginit într-un mnozhestvo.Itak compact, trebuie să demonstrăm:
1. În primul rând, obținem o estimare pentru auxiliar (în).
2. Să ne dovedească uniform mărginit și equicontinuous.
a) uniform delimitată:
b) equicontinuity
Impartim intervalul de integrare după cum urmează (Fig. 2.1)
Notăm cartier. un cartier --- .Apoi integrantă a lungul segmentului poate fi împărțit în următoarele părți:
Rețineți că, dacă intervalele și se intersectează, inegalitatea încă deține. Pentru primele două integralele au punctaj (sumă). Datorită selecției putem realiza acest lucru
în cazul în care. Deoarece este continuă, iar convergența poate fi redusă, astfel încât :. astfel încât pentru toate cheltuielile de alegerea de a obține rezultatul dorit pentru orice f. Astfel, operatorul este compact, deci Fredholm teorema deține.