A. A. Bolibruh. problema Hilbert (100 de ani mai târziu)
a șaptea problemă Hilbert
Să ne întoarcem la subseturi ale liniei reale. Luați în considerare din nou lanțul
.
Am demonstrat deja că numerele reale este „mai mare“ decât rațional, pentru că numărabil și uncountable ---. Deci, există iraționale (non-raționale) numere reale. (De fapt, un număr irațional „mult mai mult“ decât rațională, și dacă arunci la întâmplare un punct pe o linie număr, vor cădea aproape sigur în număr irațional.)
Menționăm că am demonstrat teorema privind existența numerelor iraționale, fără a prezenta nici irațional.
Dar nu este dificil de a cita un exemplu de un număr irațional, de exemplu, este. Într-adevăr, să presupunem că acest număr este rațional. Apoi, acesta poate fi reprezentat ca o fracție ireductibilă:
=
în care p și q --- întregi care nu dispun de divizori comuni (cu excepția 1). Creșterea în această ecuație pătrat, obținem
2q 2 = p 2.
Prin urmare, p 2 este chiar, p * p este divizibil cu 2. Prin urmare, p este divizibil cu 2, astfel, p 2 este divizibil cu 4. (If p = 2p1. Apoi, p 2 = 4p1 2.) Apoi,
2q 2 = 4p1 2
q 2 = 2p1 2.
Acest lucru înseamnă că q 2 este divizibil cu 2. Prin urmare, și q este divizibil cu 2.
Am înțeles și p. și q sunt împărțite în 2, iar fracția poate fi redusă cu 2. Dar noi am presupus că această fracțiune este ireductibilă! Contradicția înseamnă că cele două nu poate fi un număr rațional.
Deci, --- număr irațional.
Desigur, atunci când ne-am demonstrat iraționalitatea numerelor, am demonstrat, astfel, din nou teorema existenței numerelor iraționale. Cu toate acestea, există clase de numere, dovedesc existența, care este mult mai ușor decât pentru a construi un exemplu concret.
Algebrice și transcendente numere
Setul de numere algebrice este notată cu litera.
Este ușor de observat că orice număr rațional este algebrică. Într-adevăr, rădăcina ecuației --- qx p = 0, cu coeficienți întregi a1 = q și a0 = -p. Deci
Cu toate acestea, nu toate număr rațional algebric, de exemplu, numărul de o rădăcină a ecuației -2 x 2 = 0. Prin urmare, numărul --- algebrică.
Pentru o lungă perioadă de timp a rămas nerezolvată de important pentru întrebarea matematica: Există numere reale non-algebrice? Numai în 1844, Liouville 1 pentru prima dată, a dat exemplul transcendentului (de ex., E. Non-algebrice) numere.
Construcția acestui număr, și dovada transcendența este foarte complexă. Pentru a demonstra teorema existenței numerelor transcedentale poate fi mult mai ușor, folosind motive de echivalență și non-echivalență de seturi de numere.
Și anume, demonstrăm că setul de numere algebrice este numărabil. Apoi, ca și mulțimea tuturor numerelor reale este nenumărat, vom stabili existența numerelor non-algebrice.
Construim o corespondență unu-la-unu între un subset de și. Acest lucru va însemna că cursul --- sau numărabile. Dar din moment ce. infinit, și, prin urmare, numărabile.
Să - un număr algebric. Luați în considerare toate polinoame cu coeficienți întregi, care este rădăcina și să aleagă între ele polinom Pminimalnoy de grad (m. E. Nu va exista o rădăcină a unui polinom cu întreg coeficienți de o mai mică măsură).
De exemplu, pentru administrarea unui polinom este de gradul 1 și --- pentru numărul de gradul 2.
Împărțim toți coeficienții polinomul P cel mai mare divizor comun. Obținem un polinom a cărui coeficienți sunt prime între ele împreună (cel mai mare divizor comun este 1). În cele din urmă, în cazul în care un coeficient mai mare este negativ, se înmulțește toți coeficienții polinomului de -1.
Polinomul rezultat (adică. E. Un polinom cu coeficienți întregi, a cărui rădăcină este numărul care are cel mai mic grad posibil, coeficienții Sr. și un prime între ele coeficient pozitiv) este formele polinomiale minime.
Putem dovedi că un polinom este determinat în mod unic: fiecare număr algebrică are exact un polinom minimal.
Numărul de rădăcini reale ale polinomului nu este mai mare decât puterea lui. Deci, poate fi numerotate (de exemplu, crescător) toate rădăcinile unui polinom.
Acum, fiecare număr algebrică este complet determinat de polinom minimă (de exemplu, un set de coeficienți ..) și un număr, care se deosebește de alte rădăcini ale acestui polinom:
(A0, a1. An-1, o, k).
Deci, fiecare număr algebrică am asociat un set finit de numere întregi, și acest set de recuperat în mod unic (de ex. E. numere diferite corespund diferitelor seturi).
Noi numerotați în ordine crescătoare a numerelor prime (nu este dificil de a arăta că există un număr infinit). Obținem o secvență infinită de k>. p1 = 2. p2 = 3. p3 = 5. p4 = 7. Acum setul de numere întregi (A0, A1. O-1, o, k) poate fi asociată cu produsul(Acest număr este pozitiv și rațional, dar nu întotdeauna pozitiv, din cauza numărului A0. A1. O-1. Poate fi negativ). Rețineți că acest număr este o fracție ireductibilă, deoarece factorii principali în extinderea numărătorul și numitorul sunt diferite. Rețineți, de asemenea, că două fracțiuni ireductibili cu numărătorul și numitorul pozitive sunt egale dacă și numai dacă numărătorilor lor sunt egale, iar numitorul lor sunt egale.
Să considerăm acum maparea compozit:
(A0, a1. An-1, o, k) =
Deoarece diferite numere algebrice, ne-am asociat un set diferit de numere întregi, și diferite seturi --- diferite numere raționale, am stabilit astfel o corespondență unu-la-unu între set și un subset. Prin urmare, setul de numere algebrice este numărabil.
Deoarece setul de numere reale este nenumărat, ne-am demonstrat existența numerelor non-algebrice.
Cu toate acestea, teorema existență nu specifică modul în care să se determine dacă un număr algebric dat. Și această întrebare este uneori foarte importantă pentru matematică.
În 1882, matematicianul german Lindemann 2 a arătat că numărul este transcendental. Din aceasta rezultă imediat imposibilitatea de a rezolva una dintre cele mai celebre probleme ale antichității.
Aceste obiective au fost trei: cubul de dublare, unghiului Împărțire în trei și cvadratura cercului. Ei au încercat să rezolve matematica chiar grecești.
Problema cvadratura cercului are planul kruga.Na. Cu ajutorul unui conducător și busolă pentru a construi un pătrat a cărui suprafață este egală cu pătratul acest cerc.
Lăsați un cerc are o rază de 1 m. E. Intervalul de lungime Prevăzute 1. Suprafața acestui cerc este totuși de dorit o construcție pătrat reduce la lungimea de construcție a segmentului.
În continuare, vom folosi cunoscut faptul geometric: dacă specificați un interval de lungime 1, apoi cu ajutorul unui conducător și busola numai astfel de segmente pot fi construite, lungimile dintre care sunt de un tip foarte special. Și anume, cifrele pot fi numere raționale obținute din utilizarea pătrat operația de extracție rădăcină, precum și adăugarea și multiplicarea.
Dar toate aceste numere (nu este greu de dovedit) sunt algebrică, t. E. Pentru fiecare dintre ele, puteți construi un polinom cu coeficienți întregi, rădăcinile din care el este.
Deoarece numărul este transcendental, și transcendental. Prin urmare, pentru a construi o secțiune de lungime cu rigla și compasul este imposibil.
Vezi tu, ca o soluție la problema teoriei numerelor --- --- transcendere de numere implică o soluție a unei probleme geometrice. Acesta este un alt exemplu al relației strânse dintre diferite domenii ale matematicii.
saptea problema Hilbert este formulată după cum urmează:
Să presupunem că un număr --- algebrică pozitiv nu este egal cu 1, b --- numărul algebrică irațional. Dovedi că b este numărul de transcendental.
In 1934, sovietic matematician Gelfond 3 și mai târziu, matematicianul german Schneider 4 au dovedit validitatea acestei afirmații, și, prin urmare, problema a fost rezolvată.
O teoremă existență
O dată, la începutul existenței sale, revista „Quantum“ a invitat cititorii săi la următoarea problemă:
Fie a și b --- numere iraționale. Poate numărul de b să fie rațional?
Desigur, folosind sarcina de a rezolva problema saptea Hilbert nu este dificil. De fapt, numărul de transcendental --- (--- ca un număr irațional algebrică). Dar toate numerele raționale sunt algebrică, deci --- irațional. Pe de altă parte,
() = * = 2 = 2.
Deci, ne-am prezentat sunt numere: a =. b =. Cu toate acestea, această problemă poate fi rezolvată fără nici o referire la rezultatul Gelfond. Printre cititorii au găsit un student care nu știa ce a șaptea problema Hilbert, dar a trimis o soluție foarte frumoasa. El a motivat, după cum urmează: „Luați în considerare numărul dacă acesta este un număr rațional, atunci problema este rezolvată, a și b se găsesc Dacă este irațional, atunci vom lua o = b = și b = () = 2 .....“
Deci, studentul a arătat două perechi de numere a și b. astfel încât una dintre aceste perechi îndeplinește condiția, dar el nu știa ce este. Dar, pentru a produce o pereche și nu au nevoie să! Astfel, este o soluție elegantă într-un anumit sens este teorema existenței.
1 Zhozef Liuvill (1809-1882) - matematician francez.
2 Karl Luis Ferdinand Lindeman (1852-1939).
3 Alexander Osipovich Gelfond (1906-1968).
4 Teodor Shnayder (p. 1911).