In paralel, se proiectează între original și proiecțiile sale sunt încă unele proprietăți, care sunt numite proiectiv sau invariant (independent de metoda de proiecție).
Pe baza proprietăților invariante ale proiecției paralele, putem demonstra orice teorema sau reproduce originalul pentru o anumită proiecție. Se poate argumenta că, în geometrie descriptivă acolo ca două axiome ale sistemului. One - este utilizat în procesul de construire a proiecției formelor geometrice ale sale originale, și în această etapă a axiomei acțiunii efectua proprietăți invariante ale proiecției paralele. După proiecția definită, intră în vigoare un alt sistem - geometria euclidiana axiomatică.
Luați în considerare a treia proeminență paralelă invariant, care este rezolvată pe baza unui grup de sarcini numit pozitional.
În cazul în care punctul aparține spațiului liniei, proiecția acestui punct aparține liniei de proiecție:
( „A1 m) [A Î m Þ şi Î m a].
sarcini poziționale, care abordează problema de accesorii mutuale specificate forme geometrice. Toate varietate de probleme de poziție se împart în trei grupe:
1) sarcina de a construi liniile de intersecție a celor două suprafețe;
2) Problema de a determina liniile de punctele de intersecție cu suprafață;
3) Problema pe punctul de suprafață aparține.
Algoritmul pentru rezolvarea problemei de construire
linia de intersecție a suprafețelor
Algoritmul de rezolvare a problemelor pentru a determina linia de intersecție a două suprafețe ale suprafeței de sprijin aplicate (mediatori) Gi - sferă plane. Acesta utilizează nici un plan separat (unul) și domeniul de aplicare și numărul, sau o familie de sfere (trei, patru, și așa mai departe. D.). În orice clădire care aparține pentru a rezolva problema punctelor de linie, care are forma
( „A1 m) [A Î m Þ şi Î m a].
În rezolvarea problemei de construire a unui punct aparținând liniei suficient pentru a profita de această proprietate.
Dacă punctul A Î linia C, proiecția ortogonală A1 Î C1 și A2 Î C2.
Exemplu: numita proeminență orizontală a punctului C pe punctul său de vedere frontală, în cazul în care se știe că C Î [AB] (fig.19.):
Fig. 19. Punctul C este deținut pur și simplu
Puncte accesorii pe suprafața A Î o
Noi folosim aceeași proprietate (1) la suprafața de desen a proiecțiilor care îi aparțin, pentru a indica punctul. În primul rând, aveți nevoie pentru a construi o proiecție a unei linii aparținând la suprafață, și apoi marcați un punct de pe această linie.
Exemplu: în planul unui (a çêb) să specifice un punct arbitrar A.
1. tragerea la sorți h Î a (a çêb).
Fig. 20. Punctele 1 și 2 aparțin unui plan
Aparținând linie de suprafață (l Î a)
Exemplu: Construiți o vedere frontală a liniei L, aparținând planul ABC D dacă știm l1 de proiecție orizontală.
Construcția liniei aparținând suprafeței, nu este fundamental diferită de construirea unui punct aparținând suprafeței. Singura diferență este că o proiecție nu este determinată, și n puncte aparținând liniei.
Atunci când construirea liniei aparținând unui plan de proiecție este suficient pentru a defini două puncte pe linie.
Fig. 21. Accesoriu linie de suprafață l Î un plan ABC D
Cum pot determina punctul de intersecție al liniilor de pe desen complex? Acest lucru rezultă din proprietate (2):
Exemplu: Afișaj pe diagrama Monge două linii intersectate m și n.
Să k = m Ç n,
apoi la Î și m (1) K Î n (2).
și anume proiecția directă cu același nume supra-
și intersectează punctul de intersecție de proiecție
Nia se află pe aceeași legătură.
Fig. 22. Două linii intersectate m și n
Intersecția suprafeței cu suprafața (a și b)
Cele două suprafețe se intersectează de-a lungul liniilor de care aparțin fiecare punct al suprafețelor care se intersectează.
De aceea, găsirea intersecția celor două suprafețe se reduce la găsirea punctele comune care aparțin atât la setul de puncte care constituie suprafața a, și o multitudine de pixeli care alcătuiesc suprafața b.
Metoda de construire a liniei de intersecție a două suprafețe este după cum urmează:
Descrierea verbală a limbii geometriei descriptive:
notație simbolică în limbajul geometriei:
1. Prezentați auxiliar avionul Gi intersectând. 2. Se determină linia de intersecție a planului de referință cu fiecare dintre suprafețele predeterminate. 3. Găsiți punctul în care se intersectează linia de intersecție obținută. Am conecta aceste puncte linie buna.
Algoritmul de a găsi punctele comune celor două seturi specificat de puncte suprafețe a și b, poate fi scris ca
unde Gi - suprafața conului; b - suprafața sferei.
Pentru a construi linia de intersecție a suprafețelor în desen, este necesar să se găsească puncte comune pentru ambele suprafețe de linii grafice simple, concurente. Pentru liniile de date astfel de suprafețe sunt circumferențială (fig. 25).
Algoritmul de rezolvare a problemelor pentru a determina linia de intersecție a două suprafețe a și b ca suprafață auxiliară (Operation) trebuie selectată suprafețele care traversează suprafața predeterminată a și b pentru cele mai simple, linii de construcție - linii și cercuri. Prin urmare, ca mediatori accepta planul sau a unei sfere. În acest sens, putem vorbi despre diferite soluții la problema definiției liniei de intersecție a suprafețelor.
Fig. 23. Construcția liniei punctelor de intersecție a metodei conului și sferă intersectând planurile T2. I2. G "2. ... g2. G'2. G" 2
Fig. 24. Construcția liniei punctelor de intersecție a două suprafețe conice sfere concentrice mod g2 g'2 = g „2
Fig. 25. Construirea unui punct deschis al liniei de intersecție torusului
și metoda de con sfere excentric
Există două opțiuni pentru utilizarea cu planurile de secțiune auxiliare (Figura 22.):
1) un plan generic
2) proeminente plane.
Există, de asemenea, două moduri de a folosi suprafețele sferice (Figura 24, 25):
1) sfere concentrice - familia folosit de sfere de raze diferite trase din centrul unuia;
2) sfere excentric - razele sferelor pot fi identici sau diferiți, extrase din diferite centre (Figura 25) ..
Intersecția a două avioane
Folosind algoritmul universal pentru rezolvarea problemelor pentru a determina linia de intersecție a suprafețelor de la primele urme exemple simple de intersecție a două avioane.
Cele două planuri se intersectează într-o linie dreaptă, astfel încât să definească este suficient pentru a găsi cele două puncte care aparțin simultan fiecăreia dintre planurile definite.
Pentru a găsi aceste puncte suficiente pentru a introduce două auxiliare S2 intersectându plan și g2. și anume de două ori pentru a executa o secvență de operații furnizate de algoritmul:
EXEMPLU: Pentru a determina linia de intersecție LK avioanelor și b.
Fig. 26. Construcția liniei de intersecție a două avioane
prin intermediari
Soluția poate fi reprezentată în următoarea formă.
Descrierea verbală a limbii geometriei descriptive:
notație simbolică în limbajul geometriei:
1. Noi oferim plan frontal g2-proiectând-conductoare. 2. Definiți linia de proiecție C1 și e1 K1 și punctul de intersecție al acestor linii. 3. Desenați un al doilea plan frontal-ProE tsiruyuschuyu-S2. 4. Se determină proiecția liniei P1 și D1 și punctul de intersecție L1. 5. L directă - este linia de intersecție a două planuri a și b.
Hold: K = g Ç a și b; K1 = c1 Ç e1. L = S Ç a și b; L1 = d1 Ç p1. L = un Ç b.
Determinarea liniei de intersecție puncte cu suprafața
Pentru a determina poziția punctelor de intersecție grafice (întâlniri) ale liniei la suprafață este necesară pentru a efectua o serie de construcții geometrice (RIC 28.):
a) încheie această linie în suprafața g auxiliară;
b) determinarea care traversează această suprafață g auxiliar cu o suprafață predeterminată linia (liniile);
c) observând punctul în care se intersectează linia de intersecție obținută cu o anumită (fig. 25).
Secvența soluțiilor reprezentate în următoarea formă. Pe partea dreaptă este o intrare simbolică corespunzătoare conținutului semantic, a marcat etapele decizionale.
Descrierea verbală a limbii geometriei descriptive:
notație simbolică în limbajul teoriei set:
1. Încheiem această linie la suprafața auxiliară. 2. Se determină linia de intersecție a suprafeței mică având o suprafață predeterminată. 3. Notă punctul de intersecție al liniilor de intersecție obținute cu date.
1. Încheie și Ì g. 2. Determinarea l = g Ç a. 3. Notă K = a Ç l.
Algoritmul finală pentru rezolvarea problemei determinării punctelor de intersecție ale liniei cu suprafața în formă simbolică poate fi scrisă ca = (g Ç a) Ç a.
Aici, la fel ca algoritmul pentru determinarea liniei de intersecție a celor două suprafețe, în funcție de curba definită ordine relativă și poziția și suprafața, o multitudine de puncte dorite poate consta dintr-una, două, trei sau mai multe elemente (pixeli), Fig. 28.
Algoritmul rezultat este versatil, potrivit pentru a rezolva problema cu oricare dintre datele inițiale, inclusiv în cazul în care este necesar să se determine punctul de intersecție (meeting) cu un plan drept.
Acum examina modul în care această problemă este rezolvată pe diagrama Monge (fig. 28).
Exemplul 1: Se determină punctul de intersecție al curbei și, pe cilindric arbitrar de suprafață a.
1. Concluzionăm curba a2 în suprafața frontală proiectată a g2 cilindric.
2. Se determină linia de intersecție a suprafețelor și g a. Pentru a face această notă a2 = g2 = l2 puncte arbitrare 12. 22. 32. 42. 52. Cunoașterea punctelor de proiecție frontală găsi proiecția lor orizontală 11. 21. 31. 41. 51. Combinarea acestor puncte printr-o curbă lină, obținem l1 proiecție orizontală curba l, la care suprafața cilindrică auxiliară intersectează această suprafață g a.
3. Semnalăm punctul K1. K'1 curbelor de intersecție a1 și l1. În proiecția orizontală definește K2 lor de proiecție frontală. K'2.
Fig. 27. Intersecția curbei cu suprafața
Exemplul 2: Determinarea punctului de intersecție al liniei l cu o suprafață drept con circular a (fig. 28).
Soluție: conchide l2 directă în planul P care trece prin varful suprafeței conice S. în Fig. 28, un plan P definit care intersectează liniile care trec prin punctele arbitrare 52 și 62 și vertex S. Două linii bine intersectându-se intersectează planul orizontal la punctele 12 și 22. construcții puncte de proiecție orizontală 51 și 61 care se conectează la vârful S1 două generatoare și definesc punctele 11 și 21.
Prin punctele 11 și 21 țineți urme plan orizontal P1. care intersectează circumferința (baza conului) la punctele 31 și 41 conectați punctele 31 și 41 cu S1. triunghi se obține (figura simplă, o secțiune transversală obținută prin conică suprafață plană P). l1 Direct intersectează triunghiul 31. S1 obținut la 41 de puncte A1 și B1. Punctele A și B sunt de intrare și de ieșire puncte pe o suprafață conică dreaptă.
Fig. 28. intersecția liniei drepte cu suprafața conică
Fig. 29. intersecția liniei cu suprafața
Intersecția liniei și planul
Sarcina de a construi o linie dreaptă puncte de intersecție cu avionul este cele mai importante sarcini ale poziției cursului în geometria descriptivă. Schema de soluțiile sale valide pentru rezolvarea problemelor în construcția punctelor de intersecție ale liniilor cu suprafața, intersecția cu suprafața plană, construcția liniei de intersecție a suprafețelor cu suprafețe cutate, etc. În rezolvarea acestei probleme, un proeminent plan ca și auxiliar.
Luați în considerare o construcție de circuit pentru rezolvarea problemei în conformitate cu planul punctului de intersecție (Fig. 30, 31).
Având în vedere: Un avion b (a Ç d) directă și (Fig. 30).
Dorit: Construcția punctului de intersecție al liniei și planul b.
Din moment ce o - linie, atunci algoritmul
K = (g Ç b) Ç o
g - un avion. Prin urmare, g Ç b = 1,2 - drepte.
1) prin intermediul a1 conductor proiectat orizontal plan al g1. Această construcție se realizează algoritmul punctul 1;
2) definesc o intersecție vedere frontală a liniei auxiliare planul secant g cu acest plan b-1, 2, utilizând punctele 11 și 21, în care g1 proiecția orizontală intersectează liniile c1 și d1;
3) efectuarea al treilea paragraf al algoritmului se reduce la determinarea punctului K2 = 1,2 Ç b. Cunoașterea K2. Construim K1.
soluții Algoritm nu se schimbă dacă avionul este definit prin linii drepte paralele sau linii drepte de-a lungul care intersectează planul (planul urmelor).
Fig. 30. Intersecția liniei cu avionul
Fig. 31. intersecția planului cu o linie dreaptă l b
Întrebări pentru auto-control
1. Ce sarcini sunt metrice?
2. Formulați o definiție a toaletă punct de suprafață dreaptă.
3. Formulați definiție suprafața directă afiliere.
4. Descrieți principiul general al unui algoritm generalizat pentru rezolvarea problemei definirii liniei de intersecție a suprafețelor.
5. Care sunt punctele de intersecție a liniei numit de sprijin?
6. În unele cazuri, planul intersectează suprafața unui con circular drept: două linii intersectate; într-un cerc, elipsa, parabola, hiperbola?
7. Ce ar trebui să fie ghidată în selectarea suprafeței auxiliare care se intersectează liniile atunci când se determină punctele de intersecție cu top-suprafață?
Obiectiv: Determinarea punctului de întâlnire al liniei AB cu suprafața sferei, cu o suprafață arbitrară de revoluție.