Precizia de măsurare se caracterizează printr-o eroare relativă.
O eroare relativă a valorilor aproximative ale lui x este raportul dintre valorile erorilor absolute ale modulului și valoarea exactă.
În cazul în care valoarea exactă nu este cunoscută și apoi utilizați eroarea relativă limitare - un număr pozitiv # 948;, asta.
Pentru a calcula erorile relative sunt folosite adesea formula aproximativă
Aceste formule sunt mai precise, mai aproape de valoarea lui x la valoarea exactă a. t. e. este mai mic sau eroarea # 916;.
Exemplu. Care limitează eroarea absolută și relativă a 1,41 - valoarea aproximativă a numărului. Deoarece 1410 <<1,415, то
Prin urmare, putem pune # 916; = 0,005. Mai departe. de unde # 948; = 0,0036 și # 948; = 0,36%.
Se spune că valoarea aproximativă a x (scrisă ca fracție zecimală) are n caractere adevărate dacă eroarea absolută în acest număr este mai mică sau egală cu jumătate din bitul -lea unitate Egon.
De exemplu. 9263 dacă este adevărat semn are trei (9, 2 și 6), eroarea absolută în acest număr
.
Funcțiile elementare sunt funcții ale unei variabile, ale căror valori sunt obținute printr-un număr finit de operații de calcul argumente, variabila dependentă și numere constante. Descompunerea funcțiilor elementare în serie de putere
Dovada. Pentru orice alese astfel încât. Formula lui Taylor este aplicabilă unui membru rezidual sub forma Lagrange. în cazul în care. Pe, și starea. Pe baza seriei d'Alembert cu termenii converge (). Prin urmare, termenul său general tinde la 0, ceea ce înseamnă că atunci când. Având în vedere arbitrarului obține că.
Pentru expansiune, observăm că. și la orice lungime. Prin urmare, putem aplica Lema cu. și vom obține :.
Descompunerea ne permite să aducem foarte important pentru formula lui Euler în continuare. În primul rând vom da definițiile necesare.
În cazul în care termenii seriei - numerele complexe (), convergența seriei înseamnă că ambele converg și serii. Convergența absolută a seriei. prin definiție, există o convergență a seriei. și anume serii.
inegalități evidente arată că convergența absolută a seriei este echivalentă cu convergența absolută simultană a seriei. și serii absolut convergente cu termeni complexe au toate proprietățile serii absolut convergente cu termeni reali.
Substituind în pentru descompunerea în loc de magnitudine. Apoi, (în timp ce în mod oficial) să obțină. Prin gruparea termenii reale și imaginare, obținem :.
Pentru a justifica legalitatea acțiunilor noastre, observăm că rând. așa cum sa dovedit mai sus, este absolut convergentă, astfel încât este posibil să se rearanja termenii (cum ar fi cele de mai sus), iar valoarea acesteia va rămâne. Menționăm că pentru.
În cazul în care extinderea numărului substitut. obținem :. Prin urmare, din cele obținute în două formule. Mai mult, pentru orice număr complex.
Noi folosim egalitatea. Aranja într-un rând ca progresie în timp. . Apoi, integrând această expansiune, vom obține :. Această ecuație este valabilă pentru. Mai mult, deoarece seria converge în teorema lui Leibniz, egalitatea persistă la.
Noi folosim egalitatea. Mai mult, ca mai sus, la. Prin urmare, atunci când. În plus, seria converge. Prin urmare, extinderea scris mai sus este valabil și pentru.
Dacă vom desemna. atunci. Prin urmare. Această extindere este valabilă pentru toți. în cazul în care - raza de convergență. Pentru a găsi formula de utilizare. Mai mult decât atât, fără dovezi, observăm că extinderea este valabil și atunci când. și când - pentru.
În concluzie, vom prezenta câteva consecințe utile de descompunere.
Corolar 1. Este ușor de văzut. Prin urmare, atunci când. Punerea. Obținem asta. Această descompunere este posibil să se utilizeze în calculul logaritmilor în dovada formulei lui Stirling.
Corolar 2. Formula lui Stirling.
Aici este formula fără dovezi.
9. Soluție aproximativă a ecuațiilor algebrice
Interpolarea. Interpolarea - în metoda matematică computațională pentru găsirea valorii intermediare a valorilor care au un set discret de valori cunoscute.
Mulți dintre cei care se confruntă cu calcule științifice și de inginerie de multe ori trebuie să opereze pe seturi de valori obținute experimental sau prin eșantionare aleatorie. Ca regulă generală, pe baza acestor seturi necesare pentru a construi o funcție care ar putea lovi cu precizie alte valori derivate. O astfel de nazyvaetsyaapproksimatsiey sarcină. Interpolarea aproximare numesc acest tip, în care curba este construită funcția trece exact prin punctele de date existente.
Există, de asemenea, aproape de problema de interpolare, care este apropierea unei funcții complicate pe de altă parte, o funcție simplă. În cazul în care o funcție este prea complexă pentru performanță de calcul, puteți încerca să calculeze valoarea sa la mai multe puncte, și de a construi pe ele, care este de a interpola, o funcție simplă. Desigur, utilizarea funcției simplificate nu permite să obțină aceleași rezultate precise, care ar da funcția inițială. Dar, în unele clase de probleme au înregistrat progrese simplitatea și viteza de calcul poate mai mari decât incertitudinea care rezultă în rezultate.
De asemenea, trebuie menționat, și un fel cu totul diferit de interpolare matematică, cunoscut sub numele de „interpolarea operatorilor“. Lucrarea clasică privind interpolarea operatorilor sunt teorema lui Riesz-Thorin (Riesz-Thorin teorema) și teorema lui Marcinkiewicz (Marcinkiewicz teorema), care sunt baza pentru multe alte lucrări.
Luați în considerare un sistem de puncte distincte () dintr-o anumită zonă. Să valorile funcției sunt cunoscute doar la aceste puncte:
problema de interpolare constă în găsirea unei funcții într-o clasă prescrisă de funcții care
§ Punctele sunt numite puncte de interpolare. și setul lor - grila de interpolare.
§ perechi numite puncte de date sau puncte de referință.
§ Diferența dintre valorile „vecine“ - pas interpolare grilei. Acesta poate fi fie o variabilă sau constantă.
Funcții § - funcția interpolarea sau interpolant.
1. Să presupunem că avem o funcție de masă, cum ar fi descris mai jos, care, pentru mai multe valori determină valorile corespunzătoare: