Declarația problemei
Să o funcție.
Doriți să găsiți rădăcina acestei funcții, în care un
Soluția trebuie găsită numeric, adică, pentru punerea în aplicare pe un computer. Pentru a rezolva această problemă, se propune de a utiliza metoda de iterații simple.
Metoda de iteratii simple, în general
Înlocuiți ecuația original în echivalent, și va construi iterație conform regulii „/> Astfel, metoda de repetare simplă - .. este un proces cu un singur pas iterativ Pentru a începe acest proces, este necesar să se cunoască apropierea inițială a clarifica condițiile de convergență a metodei și alegerea aproximarea inițială ..
Convergența metodei de repetare simplă
Metoda converge dacă secvența <> Ea are o limită.
Notăm raza punctului de reper, care este.
Teorema 1. În cazul în care se realizează Lipschitz continuu cu constanta pe, care
Astfel, dacă, de asemenea, deține
are o soluție unică și metoda de iterare simplu converge la o soluție pentru orice alegere a aproximarea inițială .tak aceeași estimare are: ecuatia nu are alte soluții și metoda de iterare simpla converge la soluție la
interpretare geometrică
Luați în considerare graficul funcției. Se oznochaet că soluția ecuației - este punctul de intersecție cu linia:
Iar următoarea iterație „/> - este punctul de intersecție al coordonatei liniei orizontale cu o linie dreaptă.
Figura arată în mod clar cerința de convergență. Mai aproape de derivat, algoritmul converge mai repede. În funcție de semnul abordării derivat rezolvarea aproape poate fi construit în moduri diferite. În cazul în care, atunci fiecare aproximări succesive se bazează pe cealaltă parte a rădăcinii:
metoda de relaxare
Deoarece convergența metodei este foarte importantă pentru a alege funcția, de obicei, ia-o privire.
În cazul în care nu se schimbă semnul pe intervalul în care funcția rădăcină cautati.
Să ia în considerare și metoda în acest caz.
Apoi a obține metoda „de relaxare“:
pentru care, și converge cu condiția ca metoda
Să presupunem că, în unele dintre rădăcină înconjurătoare a condițiilor
Apoi, metoda de relaxare converge
Selectarea
Estimăm metoda de relaxare eroare