transformata Fourier numit directă. funcție de frecvență unghiulară # 150; Se numește Fourier-imagine sau spectrul de frecvență a funcțiilor. Spectrum caracterizat prin raportul dintre amplitudini și faze ale unui set infinit de componente sinusoidale infinitezimale ce constituie semnalul sumă este nonperiodic. Funcționarea transformatei Fourier este scris matematic după cum urmează:
în cazul în care - un simbol al Fourier directe transforma.
Spectrele în teoria de control automat sunt reprezentate grafic ca fiind separate, părțile lor reale și imaginare:
Fig. 1 prezintă o imagine tipică a spectrului de semnal non-periodice.
Menționăm următoarele caracteristici ale funcțiilor de spectru non-periodice:
Spectrul funcției temporale non-periodice este continua;
CÂMP intervalul de valori admisibile ale argumentului
Adevărata parte a spectrului # 150; este o funcție chiar a frecvenței, partea imaginară a spectrului # 150; funcție ciudat, care permite utilizarea unei jumătăți a spectrului
Transformata Fourier este reversibil, adică, știind imaginea Fourier, puteți determina funcția inițială # 150; originală. Raportul dintre transformata inversă Fourier are forma:
sau în stenografie, unde - simbolul unei transformatei Fourier inverse. Rețineți că funcția de timp a transformării Fourier dacă și numai dacă:
Funcția singură valoare cuprinde un număr finit de maxime, minimele și discontinuități;
Funcția este absolut integrabilă, adică,
Transformata inversă Fourier este posibilă doar în cazul în care toți polii - stânga.
Luați în considerare exemple de determinarea spectrului de funcții de timp.
Găsim spectrul de frecvență al funcției delta.
Ca urmare, o parte unică, uniformă și independentă de frecvență interval valid, și imaginar al spectrului va fi egal cu zero (vezi. Figura 2).
Găsim spectrul de frecvență al funcției de unitate pas.
Această funcție nu este îndeplinită cerința de integrabilitate absolută
Prin urmare, Fourier-imaginea nu are.
numita Laplace directă transforma. variabilă complexă se numește operatorul Laplace, în cazul în care - frecvența unghiulară, - o constantă pozitivă. Funcția unei variabile complexe se numește un semnal de imagine Laplace. Determinarea imaginii Operarea pe original este înregistrată abreviat - în cazul în care - simbolul directă transformata Laplace.
Transformata Laplace este reversibil, adică, cunoscând imaginea transformatei Laplace, este posibil să se determine originalul, folosind raportul de conversie inversă
sau în cazul în care - simbolul invers transformatei Laplace.
Rețineți că transformata Laplace reprezintă funcția inițială numai când și dacă comportamentul funcției inițiale nu afectează imaginea. Clasa de funcții care pot fi transformate prin Laplace, este clasa mult mai largă de funcții care sunt transformate prin Fourier. Practic, orice funcție de timp TAUs au transformata Laplace.
Obținem imagini ale Laplace pentru funcții de impuls.
În practică, pentru efectuarea Laplace mesei directe și inverse transformări de conversie este utilizat, un fragment din care este prezentat în Tabelul. 1.
tabelul de conversie Laplace poate fi utilizată pentru a determina imaginea Fourier a funcțiilor absolut integrabile, care sunt 0 la. Pentru imaginea Fourier în acest caz, este suficient pentru a pune imaginea Laplace. În termeni generali, se pare ca
Luați în considerare formularea de bază a transformatei Laplace teorema care sunt utilizate pe scară largă în TAU.
Teorema liniaritate. Orice relație liniară între funcțiile de timp ale adevărata imagine Laplace aceste funcții;
Teorema privind diferențierea originalului.
în cazul în care - valoarea inițială a originalului.
Pentru a utiliza expresia a doua derivată
Pentru derivatul de ordine următoarea relație:
Pentru derivatul de ordinul zero condițiile inițiale, următoarea relație deține:
adică, gradul de diferențiere a timpului inițial corespunde multiplicarea imaginii cu zero condițiile inițiale.
Teorema privind integrarea originalului.
În imaginea de pe operațiunile complexe Laplace de diferențiere și integrare sunt reduse la operațiunile de înmulțire și împărțire pe care vă permite să treceți de la diferențiale și ecuații integrale pentru ecuații algebrice. Acesta este principalul avantaj al transformatei Laplace ca instrumente matematice ale teoriei controlului.
întârziere teorema. Pentru orice relație adevărată
Convoluție Teorema (multiplicarea imaginilor).
Teorema privind valorile limită. În cazul în care, atunci
Pentru a găsi funcția originală de pe imaginea sa, folosind transformata Laplace inversă. Funcția de imagine trebuie să fie prezentă sub formă de Hevisayta folosind formulele necesare descompunerea unei funcții raționale. Suma rezultată din fracțiuni parțiale se supune invers transformata Laplace. Puteți utiliza tabelele de transformare Laplace, care definesc imaginea de mai multe funcții de timp. tabel de conversie Fragment Laplace este prezentat în Tabelul. 1. În cazurile în care există poli de complexe conjugate ale imaginii, este necesar să se transforme fracții simple corespunzătoare o formă adecvată pentru utilizarea transformatei Laplace tabel. facilitează în mare măsură conversia utilizarea unui calculator personal cu pachete de programe matematice cu funcții de directa si inversa transformatele Laplace.
Definim originalul pe imaginea sub forma unei funcții raționale
Folosind extinderea Hevisayta pentru funcția rațională cu un singur pol de zero. atunci
Coeficienții de dilatare sunt de forma
Imagine în formă de Hevisayta are forma
Folosind teorema privind liniaritate și tabel de conversie pentru fiecare termen, rezultatul este
Funcția originală Graph are forma prezentată în Fig. 3.
O scurtă explicație a unui algoritm de rezolvare ecuatii diferentiale metoda operatorului de exemplu soluții ale ecuației diferențiale de ordinul 2, în forma generală
Aplicăm teorema privind diferențierea imaginilor pentru a găsi derivați
Noi obținem ecuația operator care utilizează teoria liniară
Rezolva ecuația cu privire,
Găsim, folosind trecerea la forma Hevisayta (descompunere Hevisayta)
O atenție deosebită trebuie acordată imaginii derivatei funcției de unitate pas, care este definit după cum urmează:
se dovedește o decizie greșită, așa că ar trebui să utilizeze numit „stânga“ condițiile inițiale
Adevărul acesta poate fi verificată cu ușurință prin substituirea soluțiilor în ecuația diferențială inițială.
întrebări de control și sarcini
Ce se impun restricții asupra directa si inversa transformata Fourier?
Ca și în tabelele de conversie Laplace pentru a obține un spectru de frecvență a semnalului real, # 150; non-periodice în funcție de timp?
În cazul în care imaginea este transformata Laplace are forma o funcție rațională a formei în care este mai convenabil să reprezinte pentru forma originală sau sub formă Bode Hevisayta?
Determina imaginea originală următoare Laplace
Determina imaginea originală următoare Laplace