Să considerăm hiperbolă (1). Pentru ea. deoarece . Amintindu-ne că. Noi primim. Am explora modul în care modificarea formei de hiperbolă în funcție de excentricitatea. Reparăm arborele planetar. În cazul în care. atunci. și anume hiperbolă este foarte îngust. Cu creștere și creștere. și anume ramură hiperbolă expandat (vezi. fig. 3.9). În cazul în care. atunci. și anume hiperbolă aspect aproape de o pereche de linii paralele.
Să considerăm acum o elipsă (2). Pentru el. deoarece . Pentru o elipsă (2)
Ris.3.9. asa. Am explora modul în care modificarea formei unei elipse, conform excentricității. Din nou, se fixează arborele planetar. Când vom ajunge. iar elipsa degenerează într-un cerc. Odată cu creșterea scade semiaxa, o elipsă „mai subtire“, și în cazul în care. atunci. și anume elipsă deloc tinde să se transforme într-un segment (figura 3.10).
Acum, înapoi la directoarei. Deoarece hiperbola (1). și elipsa (2). Fig. 3.10
apoi hiperbola. și elipsei. Acest lucru înseamnă că și hiperbola directoarei, iar curbele lor directoarei elipsă nu se intersectează. Mai mult, directricea și curba de focalizare corespunzătoare sunt separate una de cealaltă (fig. 3.11 și 3.12).
Teorema (proprietatea de bază a unei elipse și hiperbolă în ceea ce privește directricea). Pentru toate punctele hiperbola (eliptic) raport cu distanța focală și distanța corespunzătoare punctului focal al directricea este un număr constant egal cu excentricitatea hiperbola (elipsă). Invers, dacă aparține hiperbolă (elipsă), pentru orice raport punct distanța față de un plan prestabilit de focalizare al hiperbolă (elipsa) corespunzătoare distanței de la punctul focal al directricea egală cu o hiperbolă excentricitate predeterminată (eliptic), atunci acest punct.
aprobarea ►Dokazhem pentru stânga și dreapta hiperbola focus directoarei (1) (în alte cazuri, se va dovedi de unul singur ca un exercițiu). Fig. 3.13 termeni au următoarele coordonate :. . . atunci
Din aceste două ecuații și obținem:
Să ne dovedesc conversa. Să presupunem că un avion punct satisface relația:
Din moment. a.
Având în vedere că. Obținem din ultima ecuație. Astfel, punctul satisface o anumită hiperbolă. ◄
putem formula o definiție comună a elipsei, hiperbolei și parabolei pe baza teoremei de mai sus.
Definiția. Hiperbolă (elipsă, parabole) este setul de puncte în plan, pentru fiecare dintre care raportul dintre distanța până la un punct predeterminat la distanța față de linia dată în acel plan au un număr constant egal cu e, mai mult decât atât e> 1 (e <1, e = 1).
Ecuația polară a unei elipse, parabole și hiperbolă
Sistem de coordonate polare
Alegeți un punct arbitrar pe planul O. pol, care va fi numit, și trage o rază din acel punct, care va fi numită axa polară. Fiecare punct al planului îl asociem perechea ordonată de numere. în care: - distanța de la pol, și - unghiul dintre axa polară și vectorul raza punctului (figura 3.14). Obținem corespondența dintre o multitudine de puncte în plan și o multitudine de perechi ordonate într-adevăr Fig. 3.14. numere. În cazul în care. și sau. această corespondență este unu-la-unu pe planul cu punctul (pol).
Concluzie ecuații polare
Am ales una dintre cele trei curbe - elipse, parabole, sau una dintre ramurile hiperbola, și las-o. Polar sistem de coordonate construit după cum urmează: pol pus în centrul atenției (pentru a lua în centrul hiperbola corespunzătoare ramurii selectate), și petrece axa polară perpendicular pe directricea corespunzătoare de această concentrare într-o direcție departe de ea. Distanța de la focalizarea la direktrisyoboznachim. Numărul se numește parametrul focal al curbei. Apoi, (. Figura 3.15). ;
din care obținem ecuația
Această ecuație definește o elipsă, parabole, ramura stângă a hiperbola, atunci când polul se află în centrul stânga și piciorul drept, atunci când focalizarea este în focalizarea corectă.
În cazul în care curba considerată - elipse, atunci. și (1), care
Figura 3.15. asta. În cazul în care curba considerată - o parabolă, atunci. În cazul în care se ia în considerare una dintre ramurile hiperbola, cu polul este în focalizarea corespunzătoare, pentru a găsi necesitatea de a rezolva inegalitatea. sau. de unde ne găsim. Astfel, pentru o ramură a unei hiperbolă
Acest lucru înseamnă că orice rază eliberat din punctul central al elipsei intersectează elipsa; numai rază eliberat din punctul central al parabolei și nu strabat - este axa polară; și razele emise de centrul de hiperbola și nu se intersectează ramura respectivă, formează un colț.
Exercitarea. Arată că, în aceeași ecuație opusă hiperbolă polare arată astfel: