Anexa III. vector potențial
În § 49 am observat că inducția magnetică B poate fi reprezentat ca
unde A - o funcție, numită un potențial vector. O astfel de reprezentare este posibilă, având în vedere faptul că divergența rotorului este întotdeauna zero. Prin urmare, condiția pentru o astfel de prezentare este realizată automat.
Ca și potențialul scalar al câmpului electric vector potențial A nu este determinată în mod unic. Anexa A la o funcție arbitrară a gradientului nu modifică valoarea lui r. F. B. Într-adevăr, înlocuiți A prin By (11,38) raaei rotor cu gradient iulyu orice funcție. prin urmare
Astfel, funcția
precum și A, este potențialul vector al câmpului magnetic.
Luând divergenta funcției (III.2), obținem
Funcția de selecție poate fi dat orice preasignată, în special la zero, valoarea. Astfel, potențialul vector poate fi întotdeauna ales, astfel încât sa divergență este zero:
t. e., astfel încât câmpul A nu a avut surse.
Rețineți că, chiar dacă starea (III.3) O funcție rămâne controversată. trebuie stabilite condiții limită pentru a defini potențialul vector a fost fără echivoc, pentru A.
ecuația Poisson. În conformitate cu (13,5) pentru câmpul în vid
Înlocuiți în raportul E la:
Partea stângă a formulei este în care - operatorul Laplace. Astfel, ajungem la ecuația
care se numește ecuația Poisson. În formă extinsă, această ecuație este următoarea:
Potențialul cîmpul magnetic creat de un sistem de taxe, distribuite cu o densitate care pot fi obținute folosind principiul superpoziției și expresia potențialului unei taxe punct. Marcarea variabilelor prime asupra cărora integrarea, obținem
Funcția (111.6) este o soluție de (III.4).
Substituind în ecuația (49.9) în rotor în loc de A:
Transformarea partea stângă a ecuației (11,40) dă
Alegerea unui astfel încât condiția (III.3), vom ajunge la ecuația
care este similar (III.4) și reprezintă un Poisson urvvienne potențial vector.
Ecuația (III.7) este echivalentă cu trei ecuații scalare:
Soluția acestor ecuații pot fi obținute prin înlocuirea funcției (III.6)), funcția ecuației (III.4) și (III.8)). rezultatul
Trei pot fi combinate într-un singur vector de expresie (III.9):
Rețineți că integrarea în formulele (III.9) și (111.10) acoperă întreaga regiune în care curenții generează câmp.
Formula (III. 10) permite distribuția curenților în spațiu izveagnomu calculează potențialul de câmp vectorial produs de acești curenți. Apoi, definind un potențial vector de rotor, vom găsi inducția magnetică în domeniu.
Biot - Savart. Calculăm un potențial vector produs de curentul care curge prin sârmă subțire. Împărțim elementele conductoare în lungime și asociat fiecărui element al vectorului este egal cu modulul și direcția coincide cu vectorul de direcție al j densitatea curentului pe acest fir elementul (Fig. III.1). Poziția elementului în raport cu O origine determinată de vectorul rază, și poziția punctului P, care definește potențialul vector - vectorul rază. Conform ecuației (III.10) elementul curent introduce în potențialul vector al punctului cu contribuție vector rază egală
unde S - secțiunea transversală în punctul - cantitatea de vectori de element și că aceeași direcție, numărătorul cu formula (III.ii) poate fi transformată după cum urmează:
în cazul în care - puterea curentului care curge în sârmă. Astfel, formula (111.11) poate fi scrisă sub forma
Rețineți că există o creștere în vectorul segment
Potențialul vectorial la punctul P este suma expresiilor (III.12)
Pentru a sublinia faptul că poziția segmentului în raport cu originea O este definită de vectorul rază, vom scrie în formă de integrare este realizată de-a lungul întregii lungimi a firului.
inducție magnetică în punctul P este determinată de funcțiile de rotor (III.13)
(Valori scalare constante am învățat peste semnul rotorului).
Integrarea în ecuația (III.14) se realizează prin coordonate amorsate (coordonatele punctului în care elementul), și diferențierea în calculul rotorului - pe coordonate ieshtrihovannym (coordonatele punctului, pentru a sublinia această afirmație am furnizat un index). Prin urmare, operația de integrare și calcularea Rotorul poate fi interschimbate. Ca rezultat cu formula (III. 14) ia forma
Rotor în expresia (III.15) este preluată din produsul scalar al vectorului conform regulilor de diferențiere a rotorului, în acest caz, este format din două componente, una în care operatorul acționează asupra vectorului factor, iar al doilea - la un factor scalar. Factorul Vector nu conține coordonatele negruntate. Prin urmare, primul termen este egal cu zero. În consecință, integrantul în (III.15) pot fi reprezentate
Calcule simple asigură funcția de gradient (gradient când derivarea se realizează la valoarea coordonatelor -. Având în vedere această formulă (III.15) ia forma
Am ajuns la legea Biot-Savart (a se vedea Ec. (42,3), care corespunde formulei (III.16)).
Câmpul la distanțe mari de curent bucla. Am găsi cu ajutorul vector potențial în domeniul de inducție magnetică produsă de un circuit de plat cu un curent la distanțe bblshnh considerabil dimensiunea de circuit liniar.
Am ales axele x și y în planul conturului și astfel încât direcția formei actuale, cu axa unui sistem dreptaci (Fig III.2; simbolurile din figură sunt aceleași ca și în figura III.1 ..) - Conform ecuației (III.13 )
Integrala este acum preluat un circuit închis.
Folosind faptul că pentru condiția, stocate în integrandul numai membrii ordinului de cădere termeni de ordin superior micimii.
Având în vedere această funcție poate fi reprezentat sub forma
(Am renuntat termenul de sub rădăcina pătrată). Deoarece. (. III 18) lanț de transformări pot fi extinse după cum urmează:
Înlocuirea integrantul în (III.17) expresia aproximativă (III. 19), obținem
(Am folosit faptul că nu depinde de coordonatele amorsată). Primul termen este zero, deoarece
Transformam al doilea termen care exprimă produsul scalar al componentelor și vectorii tirajate reprezentați ca (reamintim faptul că x și y - coordonatele punctului în care acest punct este zero). Ca urmare, expresia (III.20) ia forma
coordonate negrunduit am învățat ca un semn al integralele, deoarece integrarea este de peste coordonate amorsate.
Sub semnul funcției integrală a costurilor diferențiale. Integrala diferențialului totală, luată de-a lungul unui traseu închis este zero.
În mod similar la zero. Prin urmare, expresia (III.21) este simplificată după cum urmează:
Fig. III.3 vndio că prima integrală din (III.22) este egal cu pătrat bucla S, luat cu semnul minus, iar al doilea integral - zona S luată cu semnul plus. Astfel,
Introducem pozitiv normale pe planul conturului, adică. E. Vectorul cu componentele (0,0,1) și se calculează produsul vectorial
Comparație cu (III.23) arată că expresia potențialului vector poate fi scris ca
Factorul este un moment magnetic bucla (vezi Ec. (46.5)). Prin urmare,
Din această expresie rezultă că vectorul A la fiecare punct P perpendicular pe planul prin direcția vectorului și un punct P (vezi. Fig. III.2).
Înlocuirea în prezent expresia (III.23) sub forma
Calcularea rotorului funcției (II 1.25), descoperim inducția câmpului magnetic:
Folosind formula (III.26) poate fi calculată în orice punct a cărui distanță de circuit este mult mai mare decât dimensiunile liniare ale circuitului. Conform acestei formule pentru punctele culcat pe, o valoare obținută axă
Ecuația (III.27) coincide cu formula (4.7.2) obținute pentru un contur circular. Pentru punctele (x, y, 0), situată în planul conturului,
(formule Miercuri (9,9) și (9,10)).
Noi găsim vectorul unitate în punctul cu coordonatele. Conform ecuației (III.26)
Prin calcule simple ne putem asigura. Parantezele de expresie pot fi reprezentate în vnde
unde D - unghiul dintre vector și direcția punctului P (a se vedea figura III.2 ..). Astfel, ajungem la expresia