La fel de ușor să se stabilească de factoring polinom pătratic
Descompunerea factoring polinom pătratic poate fi utilă în rezolvarea problemei inegalităților C3 sau probleme cu opțiunea C5. Ca probleme de multe cuvinte B13 vor fi rezolvate mult mai rapid dacă dețineți Vieta teorema.
Această teoremă este, desigur, poate fi considerat din punctul de vedere al clasei a 8, în cazul în care ea a trecut mai întâi. Dar sarcina noastră - să se pregătească bine pentru examen și să învețe să rezolve sarcini de examen cât mai eficient posibil. Prin urmare, în acest tutorial, abordare este considerat un pic diferit de școală.
Formula pentru rădăcinile ecuațiile Vieta Teorema cunoaște (sau chiar vazut) mult:
$$ x_1 + x_2 = - \ Frac, \ quad x_1 · x_2 = \ frac, $$
unde `a, B` and` C` - coeficienții polinomului pătratic` ax ^ 2 + bx + C`.
Pentru a afla cum să folosească cu ușurință teorema, trebuie să înțelegem de unde vine (ar fi foarte usor de retinut).
Să presupunem că înainte de noi este ecuația `ax ^ 2 + bx + c = 0`. Pentru comoditate în continuare, vom împărți în `a` get` x ^ 2 + \ frac x + \ frac = 0`. O astfel de ecuație se numește ecuația pătratică redusă.
Cel mai important gând al lecției: orice polinomială pătratică, care are rădăcini, poate fi descompusă în paranteze. Să presupunem că prezentul nostru poate fi sub formă de `x ^ 2 + \ Frac x + \ Frac = (x + k) (x + l)`, în cazul în care `k` and` L` - unele constante.
Să vedem cum se desfășoară paranteze:
$$ (x + k) (x + l) = x ^ 2 + kx + lx + kl = x ^ 2 + (k + l) x + kl. $$
Astfel, `k + l = \ frac, kl = \ frac`.
Este un pic diferit de interpretarea clasică a teoremei Vieta - în ea suntem în căutarea pentru rădăcinile ecuației. Propun să se uite la termenii consolelor de expansiune - astfel încât nu trebuie să-și amintească despre minus cu formula (I mean `x_1 + x_2 = - \ frac`). termenul liber - două numere a căror sumă este egală cu coeficientul mediu, iar produsul este suficient pentru a ridica.
Dacă dorim o soluție a ecuației este, este evident că rădăcinile `x = -k`ili` x = -l` (ca și în aceste cazuri, unul dintre suporturile neutrul, deci nu va fi zero, iar întreaga expresie).
In exemplu algoritmul va arăta cum să se stabilească pe paranteze pătrate polinomiale.
Exemplu One. Algoritmul de descompunere pătratică de factoring polinomul
Calea pe care o avem kvadrtany trinom `x ^ 2 + 5x + 4`.
El a dat (coeficientul de x ^ 2` este unitatea `). Rădăcini el are. (Pentru a fi sigur, putem estima discriminant, și asigurați-vă că acesta este mai mare decât zero.)
măsuri suplimentare (care au nevoie să învețe de a face toate de formare de locuri de muncă):
- Executați următoarea intrare: $$ x ^ 2 + 5x + 4 = (x \ ldots) (x \ ldots) $$ In loc de puncte, lasă loc, nu va adăuga numere și semne adecvate ..
- Luați în considerare toate opțiunile așa cum putem extinde numărul de `4` în produsul a două numere. Obținem o pereche de „candidați“ la rădăcinile ecuației: 2“, 2' și` 1 4`.
- Estimarea, din care o pereche poate obține rata medie. Evident, acest lucru este `1, 4`.
- Înregistrare $$ x ^ 2 + 5x + 4 = (x \ quad 4) (x \ quad 1) $$.
- Următoarea etapă - pentru a plasa semne înainte de numerele introduse.
Cum să înțeleagă și amintiți-vă pentru totdeauna, ce semne ar trebui să fie în fața numărului în paranteze? Încearcă să-i (acolade) deschide. în primul coeficient gradul în fața `` x` este (± 4 ± 1) `(atâta timp cât noi nu știm ce semne - alegeți), și ar trebui să be` 5`. Evident, există două plus $$ x ^ 2 + 5x + 4 = (x + 4) (x + 1) $$.
Fa acest lucru de mai multe ori (alo, formare de locuri de muncă!) Și mai multe probleme cu acest lucru nu se va întâmpla.
Dacă doriți să rezolve ecuația x ^ 2 `+ 5x + 4`, dar acum decizia sa nu este dificil. Rădăcinile sale: `-4 -1`.
EXEMPLUL secundă. Factoring polinom pătratic cu coeficienți de diferite semne
Să presupunem că dorim să rezolve ecuatia x ^ 2 `-x-2 = 0`. discriminant pozitiv dezinvolt.
Mergem pe algoritmul.
- $$ x ^ 2-x-2 = (x \ ldots) (x \ ldots) $$.
- Descompunerea doi factori pe ansamblu, există doar un singur: `2 · 1`.
- Pierde ideea - nu alege nimic altceva.
- $$ x ^ 2-x-2 = (x \ quad 2) (x \ quad 1). $$
- Produsul numerelor noastre negativ ( `-2` - intercept), apoi una dintre ele va fi negativ, iar celălalt - pozitiv.
Deoarece suma lor este egală cu `-1` (coeficientul de` x`), negativ este` 2` (explicație intuitivă - egalitate de puncte mai mare de două numere, este mai puternic „depășește“ în direcția negativă). Obținem $$ x ^ 2-x-2 = (x - 2) (x + 1) $$.
Un al treilea exemplu. Descompunerea factoring polinom pătratic
Ecuația 2 'x ^ + 5x -84 = 0`.
- $$ x + 5x-84 = (x \ ldots) (x \ ldots) $$.
- Descompunerea 84 pe multipli întregi ai `4 · 21, 6 · 14, 12 · 7 2 · 42`.
- Pentru că avem nevoie pentru a face o diferență (sau valoarea) de numere egale cu 5, ne-am potrivi o pereche de „7, 12“.
- $$ x + 5x-84 = (x \ quad 12) (x \ quad 7). $$
- $$ x + 5x-84 = (x + 12) (x - 7) $$.
Din fericire, extinderea polinomului pătratic în acolade clare.
Dacă aveți nevoie de o ecuație soluție, atunci aici este: `12, -7`.
Obiective de formare
După câțiva ani după ce a scris un articol apărut o colecție de 150 de locuri de muncă pentru descompunerea unui polinom pătratic a teoremei Vieta.