Definiții și fapte de bază
Conceptul modulului, sau valoarea absolută a unui număr real permite mai multe abordări. Vom începe cu o interpretare geometrică a acestui concept.
După cum știți, fiecare număr real poate fi identificat cu punctul de pe linia de număr. Din moment ce despre fiecare punct nenul putem spune este dreapta sau la stânga de la zero, precum și pentru a măsura distanța de la acel punct la zero, putem asocia cu fiecare număr real, două valori: semnul său și amploarea acesteia. Și anume, în cazul în care punctul care reprezintă numărul de minciuni la stânga de la zero, noi spunem că semnul numărului este negativ, iar în cazul în care dreptul de la zero, noi spunem că semnul numărului este pozitiv; numărul de semn nu are. Numărul modulului, egal cu distanța de la punctul care reprezintă numerele de la zero pot fi măsurate pentru toate numerele reale. De exemplu, numărul este pozitiv și magnitudinea sa este egal cu numărul de negativ și amploarea ei este egală; unitate de zero, este egala cu zero. După cum putem vedea, modulul este un număr pozitiv egal cu numărul în sine. număr negativ Modulul este „minus“ -acesta Acest număr, adică numărul opus; de exemplu, magnitudinea este egal. Astfel, fiecare număr real poate fi scris ca = modul semn. Mai precis, cei doi au intrat într-un argument valabil pentru o funcție, numită semnul și modulul: (. Signum - semnul (LAT)) și, prin urmare. Prin definiție crezut
Deci, pornind de la interpretarea geometrică a unui număr real. am ajuns la orosho cunoscut definiție modul algebrică.
Teorema 1.During această notație avem identitatea și.
În continuare declarația enumeră proprietățile modulului, precum și dezvăluie legătura dintre modul și operații aritmetice și algebrice. Rețineți că valoarea egală cu distanța pe linia reală între punctele care reprezintă și numerele.
Teorema proprietăți 2.Sleduyuschie valabile pentru toate valorile reale ale variabilelor care apar în ele.
1), în care, dacă și numai dacă.
2).
3); în special.
4); .
5).
6); în special.
Exemplul 1.1. Rezolva ecuația.
SOLUȚIE. Transforma partea stângă a ecuației :. Din moment ce fiecare dintre termenii obținute pentru toate valorile non-negativ, suma luată în considerare este, de asemenea, întotdeauna non-negativ, și egal cu zero dacă și numai dacă fiecare dintre termenii este zero. Astfel, ecuația originală este echivalentă cu ecuația.
RĂSPUNS :.
Graficele și funcții după cum urmează. Funcția este discontinuă la zero și ciudat. Funcția este continuă pe toată linia reală și chiar. Pentru valori negative ale variabilei, scade. și, dacă este pozitiv - crește.
Exemplul 1.2. Pentru fiecare valoare a unui parametru pentru a găsi numărul de puncte de intersecție și curbe.
SOLUȚIE. Vezi pe planul de date a curbelor. Prima dintre acestea este obținut prin comprimare și, probabil, axa de simetrie în raport cu graficul, iar a doua ecuație definește un cerc cu o rază centrată în punctul. Când curba se află în prima și a doua trimestre, inclusiv axa (la curbă coincide cu axa), și un cerc - în al treilea și al patrulea, neavând puncte în comun cu axa. Prin urmare, în acest caz, curbele de date nu se intersectează.
Acum, să. Când mici valori absolute ale acestor curbe au puncte comune încă nu se va. Apoi, cu descreșterea apar atingere (momentul prezentat în figură),
și pentru toate valorile mai mici ale acestui parametru va fi exact patru puncte în comun. Putem găsi decât valoarea la care are loc la atingere. Având o rază obține triunghi egiptean (adică triunghi cu laturile ,,) din care putem găsi cu ușurință panta corespunzătoare :. jumătate
RĂSPUNS: Atunci când numărul de puncte de intersecție este de patru, atunci când - doi. și în nici un punct de intersecție.
Exemplul 1.3. Ce figură geometrică definită de ecuația? Asigurați-desen.
SOLUȚIE. Este ușor de văzut că figura noastră cuprinde, de asemenea, de-a lungul fiecare dintre punctele sale un punct ,. Prin urmare, este suficient pentru a descrie o parte a figurii, situată în primul cadran, iar apoi reflectă curba obținută în raport cu ambele axe și originea.
Deci, chiar. Apoi ecuația originală devine. Deci, situată în primul trimestru al figurii este segmentul de linie corespunzător. după ce a făcut toate aceste reflecții ale acestui segment, vom obține un patrulater cu diagonalele perpendiculare egală, adică, la pătrat.
RĂSPUNS: pătrat.