Ecuația cu două necunoscute în numere întregi

2. Teoreme privind numărul de soluții de ecuații cu două variabile.

3. Un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor.

4. Metode de rezolvare a ecuațiilor.

5. Exemple de soluții de ecuații în moduri diferite.

„Cine controlează numerele

El conduce lumea "

Pitagora.
Introducere.
Analiza situației: .. Diophantine ecuație este relevantă în timpul nostru, tema, adică la soluția ecuații, inegalități, probleme care pot fi reduse la soluția de ecuații în numere întregi folosind estimări pentru variabilele găsite în diverse antologii și colecții de examen matematică.

După ce a studiat moduri diferite de a rezolva o ecuație de gradul doi cu o singură variabilă în clasă, am fost curioși să aflăm, și cum să rezolve ecuații cu două variabile. Aceste locuri de muncă se găsesc la Olimpiadă și în materialele de examen.

1. 
   Se colectează materialul teoretic conform metodelor de rezolvare a ecuațiilor;
   
2. 
   Dezasambla algoritmul pentru rezolvarea ecuațiilor de acest tip;
   

1. 
   Luați în considerare mai multe exemple de utilizare a acestei tehnici.
   

Obiectul de studiu: ecuații Rezolvarea

Subiect de cercetare: Ecuațiile cu două variabile în numere întregi.

Ipoteză: Acest subiect este de o mare importanță practică. În matematică școlare detaliate ecuații de studiu cu una moduri diferite variabile și pentru a le rezolva. Nevoile procesului educațional necesită ca elevii cunosc și au fost capabili să rezolve ecuații simple, cu două variabile. Prin urmare, o atenție sporită acestei probleme nu este justificată numai, dar, de asemenea, este relevantă în matematică școală.

Acest lucru poate fi folosit pentru a studia acest subiect în elevii cursuri opționale în curs de pregătire pentru deschiderea și examenele finale. Sperăm că lucrarea noastră va ajuta elevii de liceu să învețe să rezolve ecuații ale acestei forme.

1. Diophant și istoria ecuațiilor Diofantine.
soluții de ecuații în numere întregi este una dintre cele mai vechi probleme matematice. Cea mai mare înflorire a acestei zone de matematică a ajuns în Grecia antică. Principala sursă, a ajuns până la noi, este lucrarea lui Diophant - „Aritmetica“. Diophant rezumate și extins până când a câștigat experiență în rezolvarea ecuațiilor nedeterminate în numere întregi.

Istoria ne-a păstrat o mică biografie a caracteristicilor remarcabile ale savantului alexandrin algebraist Diophant. Potrivit unor rapoarte Diophant a trăit până la 364 ani î.Hr. Știm doar un fel de biografie a lui Diophant, care, conform legendei a fost gravat pe mormântul său, și este o sarcină-puzzle:

„Dumnezeu a revelat-o să fie un băiat șesime din viață; adăugând la această a douăsprezecea parte, el a acoperit obrajii cu jos; după a șaptea a aprins El ia lumina de căsătorie și la cinci ani după căsătorie ia dat un fiu. Vai! Nefericitul copil târziu ajunge măsuri jumătate din viața deplină a tatălui său, el a fost măturat soarta nemiloasă. Patru ani mai târziu, consolatoare durerea sa abătut asupra știința numerelor, el [Diofant] a terminat viața lui „(aproximativ 84 de ani).

Acest puzzle este un exemplu de problemele care sunt rezolvate Diofant. El specializat în rezolvarea problemelor în numere întregi. Astfel de probleme sunt acum cunoscute ca Diophantine.

Cel mai faimos, Diophant rezolvat este problema „pe extinderea a două pătrate.“ Este echivalentul cunoscutului teorema lui Pitagora. Această teoremă a fost cunoscută în Babilonia, probabil, era cunoscut în Egiptul antic, dar a fost demonstrat pentru prima dată în școala pitagoreică. A fost numele unui grup interesat în filosofia matematicii după fondatorul școlii pitagoreice (aproximativ 580-500g. BC)

Viața și munca de Diophant a procedat în Alexandria, el a colectat și rezolvat cunoscute și să vină cu noi obiective. Mai târziu, el le-a combinat într-o mare lucrare intitulată „aritmetică.“ Din cele treisprezece cărți au fost parte din „Aritmetica“, doar șase au supraviețuit din Evul Mediu și a devenit o sursă de inspirație pentru matematicieni ai Renașterii.

2. Teoreme privind numărul de soluții ale ecuației Diophantine liniare.

Prezentăm aici teoria limbii pe baza cărora algoritmul de rezolvare a ecuațiilor de gradul I nedeterminat poate fi compus din două variabile în numere întregi.

Teorema 1. Dacă în ecuație, atunci ecuația are cel puțin o soluție.

Teorema 2. Dacă în ecuația, și nu este divizibil cu, atunci întreaga ecuație nu are soluții.

Teorema 3. Dacă în ecuație, și este echivalentă cu ecuația, unde.

Teorema 4. Dacă în ecuație, atunci toate soluțiile integrale ale acestei ecuații sunt incluse în formulele:

unde x0, y0 - soluție integrală a ecuației - orice număr întreg.

3. Un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor în numere întregi.

Aceste teoreme permit să facă următoarele soluții algoritm în numere întregi de forma ecuației.

1. 
   Găsiți cel mai mare divizor comun al numerelor a și b.
   

1. 
   Împărțit termen de termen în ecuație, obținând astfel o ecuație în care.
   
2. 
   Găsiți o soluție întreg (x0, y0) prin ecuația 1 ca o reprezentare a combinației liniare numerelor și;
   
3. 
   Creați o formulă generală a soluțiilor întregi ale ecuației
   

unde x0, y0 - soluție integrală a ecuației - orice număr întreg.

În rezolvarea ecuațiilor în numere întregi și numere naturale pot fi împărțite în următoarele metode:

1. O metodă de opțiuni de sortare.

2. Algoritmul lui Euclid.

4. Metoda de factoring.

5. Soluția de ecuații în numere întregi ca un pătrat cu privire la orice variabilă.

6. Metoda reziduurilor.

7. Metoda de coborâre infinit.

5. Exemple de soluții de ecuații.

Algoritmul lui Euclid I..

Problema 1. Rezolva ecuația în numere întregi 407h - 2816y = 33.

Noi folosim un algoritm compus.

1. 
   Folosind algoritmul euclidian, vom găsi cel mai mare divizor comun al 407 și 2816:
   

1. 
   Se împarte ambele părți ale ecuației inițiale 11, obținem ecuația 37H - 256y = 3, și (37, 256) = 1
   
2. 
   Folosind algoritmul lui Euclid găsi o reprezentare liniară a numerelor de la 1 la 37 și 256.
   

Exprimă una din ultima ecuație, apoi secvențial sus egalitățile vor exprima 3; 34 și expresiile care rezultă, înlocuim expresia 1.

1 = 34 - 3 x 11 = 34 - (37 - 34 · 1) · 11 = 34 · 12-37 · 11 = (256-37 · 6) · 12-37 · 11 =

1. 
   Scriem formula generală de soluții ale ecuației inițiale
   

unde t - este orice număr întreg.

II variante de procedeu de sortare.

Problema 2. În celula stau iepuri și fazani, toate acestea au 18 de picioare. Aflați cum în celulă și celălalt?
Soluție: egalează cu două variabile necunoscute, unde x - numărul de iepuri. y - numărul de fazani:
4x + 2y = 18, și 2x + y = 9.

În continuare vom folosi forta bruta:

Astfel, problema are patru soluții.

III. O metodă de factoring.
Bust de opțiuni în găsirea de soluții naturale pentru ecuația cu două variabile este foarte consumatoare de timp. În plus, în cazul în care ecuația are soluții întregi, atunci du-te prin intermediul lor este imposibilă, deoarece astfel de decizii fără sfârșit. Prin urmare, ne arată o altă metodă - metoda de factoring.
Problema 3. Rezolva ecuația în numere întregi y 3 - x 3 = 91.
Decizie. 1) Folosind Acronimul Formula multiplicarea factorizations dreapta-decompozabile:

2) Se scrie toate divizori de 91: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91

3) efectuarea de cercetări. Rețineți că pentru orice numere întregi x și y numărul

în consecință, ambele cofactori în partea stângă a ecuației trebuie să fie pozitiv. Apoi, ecuația (1) set de ecuații este echivalent cu:

4) Sistemul Determinată, obținem primul sistem are soluții (5, 6), (-6, -5); a treia (-3; 4), (- 4; 3); soluții doua și a patra întregi nu.

A: Ecuația (1) are patru soluții (5, 6); (-6, -5); (-3; 4); (-4, 3).
Sarcina 4.Nayti toate pereche de numere întregi pozitive satisface ecuația

.
Decizie. Descompunem partea stângă a ecuației și factoringului scrie ecuația ca

pentru că divizori de 69 sunt numerele 1, 3, 23 și 69, apoi 69 pot fi obținute în două moduri: 69 = 1 · 69 și 69 · 3 = 23. Având în vedere că, obținem două ecuații, crezând că vom fi în măsură să găsească numărul necesar:

Primul sistem are o soluție, iar al doilea sistem are o soluție.

Problema 5. Rezolva ecuația în numere întregi:

.
Decizie. Ecuația în forma

Extindem partea stângă a ecuației la factor. obținem

Produsul a două numere întregi poate fi egal cu 1 numai în două cazuri: dacă ambele sunt egale cu 1 sau -1. Obținem două sisteme:

Primul sistem este o solutie x = 2, y = 2, iar al doilea sistem are o soluție x = 0, y = 0.

Problema 6. Rezolva în numere întregi ecuația

.
Decizie. Scriem ecuația ca

Extindem partea stanga a modului de factoring ecuație grupuri obține

Produsul a două numere întregi poate fi egal cu 7 în următoarele cazuri:

7 = 1 = 7 · 7 x 1 = -1 + (-7) = - 7 · (-1) .Such mod, obținem patru sisteme:

sau, sau, sau.

Soluția de rezolvare a primului sistem este o pereche de numere x = - 5, y = - 6. Rezolvarea al doilea sistem obținem x = 13, y = 6. Pentru soluția treilea sistem sunt numere x = 5, y = 6. Al patrulea sistem are o soluție x = - 13, y = - 6.

Ea are soluții în numere întregi.
Decizie. 1) se descompun în partea stângă a ecuației și factoring divide ambele părți ale ecuației 3, ca rezultat obținem ecuația:

1. 
   aplicați formula înmulțirii Acronim x 2 - y 2 = (x-y) (x + y) = 3
   
2. 
   divizori Aydem N = 3 -1 -3, 1, 3
   
3. 
   O ecuație annoe este echivalentă cu agregatul de 4 sisteme:
   

x + y = 3
x-y = 3 x = 2, y = -1

x + y = 1
x-y = -3 x = 2, y = 1

3. Sunt 8 valori în.

Dacă x = 1, atunci y = -9 x = -5, atunci y = 3

X = 1, y = 9, x = 5, atunci y = -3

X = 2, atunci y = -3 x = -10, y = 9, apoi

X = 2, y = 3 x = 10, atunci y = -9

Ne exprimăm ecuația de necunoscut, care este inclusă în ea numai în primul grad - în acest caz, de la:

izolat dintr-o fracțiune din întreg prin intermediul unei diviziuni polinom printr-o regulă polinom „unghi“. obținem:

În consecință, diferența de 2h-1 poate lua numai valorile -3, -1,1,3.

Rămâne să treacă prin aceste patru cazuri.
Răspuns. (1, 9), (2, 8), (0, 2), (-1, 3)

Ne exprimăm n variabilă variabila t:

Găsim divizorii de 625: 1 T -25 Je; 5; 25; 125; 625

2. Să se rezolve ecuația în numere naturale: m 25 = 4m
Decizie. m 25 = 4m

1) exprimă m variabil de n:

2) găsi divizori naturale de 25: (4-n) Je 1; 5; 25

4 n = 5, atunci n = 1, m = 5 (rădăcini străine)

3 Analizat toate perechile de (x, y) de numere întregi care satisfac sistemul de inegalități:

x 2 + y 2 2> x 2 + 271 + 12U
Soluție: Selectați pătrate perfecte, obținem:

(9-x) 2 + (y + 10) 2 2 + (y + 6) 2 2 2 2 2

Ecuația cu două necunoscute în numere întregi

articole similare

• Cum de a găsi toate perechile de soluții de ecuații liniare în două variabile - poza 134608-9

• Și de câte ori am observat coeficienții b0 și b1 în ecuația sunt necunoscute

• Madonna 25 fapte necunoscute despre celebrul cântăreț - showbizului pe