Prime și numere compuse
Definiția. Un număr întreg pozitiv este numit prim dacă are exact două divizori pozitive - unul și numărul însuși.
Definiția. Numărul natural care are divizori pozitive, altele decât unitatea și numărul în sine, se numește un compus.
Este clar că fiecare număr întreg pozitiv mai mare decât unul, este prim sau compozit.
Pe de altă parte, pentru orice număr natural n> 1 din numerele n + 1, n + 2, ..., n. - 1 este un număr prim.
Într-adevăr, în cazul în care numărul n + 1, n + 2, ..., n. - 2 componente, toate divizorii este mai mic sau egal cu n. Numărul n. - 1 este divizibil cu 2, 3, ..., n. Dacă este divizibil cu unul dintre numerele de n + 1, n + 2, ..., n. - 2, va fi divizat, iar numărul este mai mic sau egal cu n. Astfel, n. - 1 nu este divizibil cu un număr mai mic mai mare decât 1. Prin urmare, n. - 1 - simplu.
Cele mai importante rezultate în domeniul distribuției de numere prime sunt de L. Euler, PL Cebîșev și Hadamard.
Teorema lui Euler afirmă că raportul dintre numere întregi simple, care să nu depășească n. la cel mai numărul n la zero, ca n abordări infinit.
teorema lui Cebîșev si teorema lui Euler Hadamard specifica. În particular, o teoremă Hadamard (1894) afirmă că numărul de numere prime care să nu depășească n. Acesta tinde la infinit, precum și raportul dintre
Timp de secole a fost căutat formule pentru identificarea unei amorse. Mulți au încercat să deschidă noi numere prime. Unul dintre ei a fost matematician francez M. Mersenne (1588-1648), care a fost în căutarea pentru amorse de forma 2 p 1, iar în a cărui onoare aceste numere numite numere prime Mersenne.
Rețineți că numerele de forma an - 1, în cazul în care un - un număr natural mai mare de 2, nu este simplu. Acest lucru rezultă din formula
care este dovedit prin înmulțirea expresiile din paranteze.
În prezent, 47 amorse Mersenne cunoscut. Ultima 47-lea de M42643801 are 12,837,064 cifre.
Numerele Mersenne sunt direct legate de numărul perfect, - cele care sunt suma tuturor divizorilor sale (inclusiv 1, dar excluzând numărul însuși). Numerele perfecte au fost cunoscute în Grecia antică. Ele sunt foarte respectat, considerat un model de armonie și frumusețe. Ei au atribuit proprietăți mistice.
Cel mai mic număr perfect este numărul 6 = 1 + 2 + 3. Acesta este urmat de numărul de 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14, atunci numărul 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 .
Legătura dintre numerele perfecte și Mersenne prim găsit Euclid.
Teorema. Dacă PT = 2 p - 1 - prim Mersenne, numărul 1 2 p- (2 p - 1) este perfect.
Dovada. Scriem divizori de 1, 2 p Pt. număr mai mic de 1, 2, 2 2 ... 2 P- 1. Pt. 2MP. 02 februarie Pt. ... 2 p 2 Pt. Calculăm suma lor. avem
Euler a demonstrat că un număr de forma 2 P- 1 (2 p - 1), în cazul în care 2 p - 1 - prim Mersenne, epuizat toate numerele chiar perfecte. În prezent, este cunoscut 47 de numere, chiar perfecte. Nu se cunoaște, un număr infinit de astfel de numere sau nu. Problema existenței numerelor perfecte impare, de asemenea, rămâne deschisă.
Luați în considerare un alt tip de numere introduse de matematicianul francez Fermat (1601-1665). Acesta este numărul de specii. Indicatorul 2 n nu este luată de accident. Arătăm că numerele de forma 2 m + 1 poate fi simplu decât în cazul în care m = 2 n. Pentru aceasta se folosește formula
care este dovedit prin multiplicarea directă între paranteze. Din aceasta rezultă că un număr de forma 2 k +1 +1 sub k naturale și a> 1 sunt realizate integral. Dacă m este divizor impar, adică m = l (2k + 1), 2 m +1 = 2 l (2 k +1) +1 = (2 l) 2 k +1 +1 - un număr compozit.
Agricole presupune că toate numerele de forma este simplu. Într-adevăr, primele cinci Fermat numere F0 = = 3; F1 = = 5; F2 = = 17; F3 = = 257; F4 = = 65537 sunt simple. Totuși Euler a demonstrat că numărul următor este un compozit Fermat F5 = 294 967 297 4 641 = 6 700 417.
Este încă necunoscut dacă celelalte numere prime există agricole. De asemenea, este necunoscut dacă este sau nu infinit mai multe numere de Fermat compozit.
Numărul de ferme legate de problema construirii unor poligoane regulate, cu o rigla si compasul.
Chiar și grecii antici au fost angajate în construcția de poligoane regulate. Ei au fost capabili să construiască -gons 2 n 3 2 n -gons 5 -gons 2 n 15 2 n -gons.
Decizia finală cu privire la care poligoane regulate pot fi construite de către conducător și busolă, a fost obținută numai în 1796 de matematicianul german KF Gauss (1777-1855). El a dovedit că un regulat n-gon pot fi construite cu rigla și compasul dacă și numai dacă n = 2 MP1 ... pk. în cazul în care numerele p1, ..., pk - amorse distincte agricole. În particular, această teoremă implică faptul că în unghi drept, 7, 9-Gon, 11-Gon, 13-Gon nu poate fi construit prin rigla și compasul.
Sarcini.
Dovedește că numărul de 1001 - un compozit.
Dovedește că numărul de 9991 - un compozit.
Dovedește că numărul de forma n + 1 8 - componenta.
Dovedește că numărul 2 9 + 12 mai - compus.
Dovedește că numărul + 222 555 555 222 - un compozit.
Dovedește că numărul de forma n + 4 4 - compus la n> 1.
Găsi toate PRIMES p. pentru care p + și p + 10 14 - simplu.
Găsi toate PRIMES p. pentru care 2p + 1 si 4p + 1 - simplu.
Găsi toate PRIMES p. care 8p 2 + 1 - simplu.
Găsi toate PRIMES p. 2 care 4p și 6p + 1 2 + 1 - simplu.
Numerele p și p 2 2 - simplu. Dovedește că p 3 + 2 - simplu.
Determina n toate numere întregi pozitive. în care 2 n - 1 și n + 1 2 - simplu.
1. M. Gardner matematică petrecere a timpului liber. - Mir 1972.
2. M. Gardner matematica roman. - Mir 1974.