Eveniment - orice caz, cu privire la care are sens să spunem, a venit sau nu a venit ca urmare a unui anumit set de condiții sau experiment aleator. Rezultă că evenimentul poate fi considerat ca o cantitate care poate lua doar două valori.
Puteți selecta tipuri de evenimente.
Evenimentul este numit valabil în cazul în care este obligat să se întâmple de fiecare dată când face un anumit set de condiții. De exemplu, în cazul în care zarurile sunt aruncate, pierderea de cel puțin unul și nu mai mult de șase puncte este un eveniment semnificativ.
Evenimentul se numește imposibilă în cazul în care este în mod evident, nu se va întâmpla în conformitate cu un exemplu de realizare, un anumit set de condiții. De exemplu, în cazul în care zarurile sunt aruncate, pierderea de mai mult de șase puncte nu este posibil eveniment.
Este numit un eveniment aleator, în cazul în care poate să apară sau nu pot să apară atunci când punerea în aplicare a unui anumit set de condiții. De exemplu, în cazul în care zarurile sunt aruncate, pierderea oricăreia dintre cele șase puncte este un eveniment aleator.
Evenimentele sunt numite incompatibile dacă apariția lor simultană a punerii în aplicare a acestui set de condiții este imposibilă, t. E. Aparițiile A în acest test elimină apariția unui eveniment în același test. De exemplu, dacă din cutia cu bile albe și negre sunt extrase aleatoriu o minge albă, elimină aspectul extragerii bila neagră în aceeași încercare.
Evenimentele sunt numite posibile numai dacă aspectul ca rezultat al testării unuia și numai unul dintre ele este un eveniment autentic. De exemplu, în cazul în care trăgătorul a tras, apoi în mod necesar apare una dintre cele două evenimente - lovit sau dor. Aceste evenimente sunt singurele posibile.
Un set de evenimente posibile numai test numit un grup complet de evenimente.
Evenimentele sunt numite în mod egal posibil, în cazul în care există motive să se creadă că nici unul dintre aceste evenimente nu este mai posibilă decât altele. De exemplu, apariția emblemei sau a grilajului când arunca o monedă este la fel de evenimente posibile.
În cazul în care - ceea ce un eveniment, evenimentul, care constă în faptul că evenimentul nu a avut loc, numit evenimentul evenimentul opus, sau refuzul de evenimente și marcat.
Suma evenimentelor se numește un eveniment menționat. care apare numai atunci când există cel puțin una dintre una sau ambele evenimente impreuna.
evenimente și produsul este denumit un eveniment menționat. care apare numai atunci când ambele evenimente au loc simultan. În cazul în care evenimente incompatibile, evenimentul nu este posibil.
Evenimentele care au loc în punerea în aplicare a unui anumit set de condiții sau ca rezultat al unui experiment aleator sunt numite evenimente elementare. Se crede că, în timpul experimentului aleatoriu pus în aplicare doar unul dintre evenimentele elementare. Setul tuturor rezultatelor elementare ale unui experiment aleator se numește spațiul de evenimente elementare.
Aceste evenimente elementare în care suntem interesați de un eveniment are loc, numit rezultate, eveniment blagopriyatstvuyuschimietomu.
Veroyatnostsobytiya - este raportul dintre favorabile acestui eveniment rezultate elementare la numărul total al tuturor posibile și în mod egal posibile rezultate elementare ale experimentului. în care - numărul de evenimente elementare de evenimente favorabile; - numărul tuturor rezultatelor posibile elementare ale experimentului.
Puteți defini următoarele proprietăți de probabilitate:
- probabilitatea ca un anumit eveniment este 1;
- probabilitatea unui eveniment imposibil este 0;
- probabilitatea ca un eveniment aleator este un număr pozitiv între 0 și 1 :.
Conceptul matematic de probabilitate a unui eveniment aleator este o caracteristică inerentă abstractă nu prin obiectele de interes ale lumii materiale, și modelele lor set-teoretic. Este nevoie de unele acord suplimentare pentru a putea extrage informații despre probabilitățile din datele experimentale. În conformitate cu definiția clasică este acceptată pentru a estima probabilitatea evenimentelor frecvența relativă a rezultatelor favorabile ale unui experiment. În cazul în care studiile independente efectuate N și n sunt observate eveniment. empirice (eșantion) estimarea probabilității. care pot fi obținute în această serie, este egal cu :. Se crede că. în cazul în care numărul de încercări.
Teoreme de bază ale teoriei probabilității
1. Teorema plus. Probabilitatea de apariție a cel puțin unuia dintre cele două evenimente comune este egală cu suma probabilităților acestor evenimente minus probabilitatea apariției lor simultane
În cazul în care evenimente incompatibile, evenimentul nu este posibil. În consecință ,. Rezumând mai multe evenimente care se exclud reciproc pot fi înregistrate.
Dacă evenimentele formează un grup complet, suma probabilităților acestor evenimente este egală cu un :. Suma probabilităților de evenimente complementare este egal cu unul :.
2. Teorema de multiplicare a probabilităților. Să presupunem că numărul total de rezultate favorabile la evenimentul de test de evenimente elementare, eveniment, favorizează evenimentele elementare și apariția simultană a evenimentelor și să încurajeze rezultatele elementare. În cazul în care a avut loc evenimentul, aceasta înseamnă că exercitarea este unul dintre rezultatele favorabile pentru el, iar rezultatele acestor evenimente vor fi favorabile pentru acele rezultate în care au loc evenimente și, în același timp. Prin urmare, vom introduce conceptul de probabilitate condiționată. probabilitate condiționată este probabilitatea de evenimente. calculată în ipoteza în care a avut loc evenimentul. evenimente independente se numesc eveniment, în cazul în care probabilitatea de una dintre ele nu depinde de apariția sau neapariția celuilalt. În cazul în care evenimentul indiferent de eveniment. atunci. Ei au numit evenimente independente împreună, în cazul în care fiecare dintre aceste evenimente asociat în mod independent, cu orice produs de alte evenimente care conțin toate celelalte evenimente, precum și orice parte a acesteia. Independența presupune evenimente împreună independența acestor evenimente Pairwise. Pentru două probabilitate aleatoare de evenimente dependente produsul acestor evenimente (.. Adică, apariția simultană într-un test) este produsul probabilitatea unuia dintre ele pe probabilitatea condiționată de o altă calculată cu condiția ca primul eveniment a avut loc deja :. În cazul în care evenimentul indiferent de eveniment. atunci. Probabilitatea de apariție simultană a unui număr de evenimente independente este egală cu perechi produsul probabilităților lor.
3. Teorema de probabilitate totală. Să fie un grup de evenimente. cu următoarele proprietăți: a) toate evenimentele sunt incompatibile pairwise; b) unirea lor formează un spațiu de evenimente elementare; c) formează un grup complet de evenimente. Astfel de evenimente sunt numite ipoteze, deoarece nu se cunoaște dinainte care dintre aceste evenimente au loc. Să - un eveniment care poate să apară la apariția unuia și numai unul dintre evenimentele. Acest lucru înseamnă că. Probabilitatea evenimentului. care poate avea loc numai în cazul apariției unuia dintre evenimentele care se exclud reciproc. formând un grup complet de produse este suma probabilităților fiecăruia dintre aceste evenimente la probabilitatea condițională corespunzătoare a evenimentului. . Formula de mai sus se numește formula totală de probabilitate.
4. Formula Bayesian. Să presupunem că, la fel ca în cazul precedent, avem un set de evenimente și evenimente de grup. având aceleași proprietăți. Să presupunem că un eveniment a avut loc și este necesar să se determine, în legătură cu schimbarea probabilității ipotezelor, adică. E .. Această problemă este rezolvată cu ajutorul formulei Bayesian. Formula lui Bayes ne permite de a supraestima probabilitatea de ipoteze dupa ce a devenit cunoscut rezultatul testului, în urma căruia a existat un eveniment. t. e. pentru a găsi o probabilitate a posteriori. Folosind conceptul de formula probabilitate condiționată Bayes' poate fi interpretat ca probabilitatea ca cauza a evenimentului este evenimentul.
5. Formula Bernoulli. Să studii independente făcute, în fiecare dintre acestea pot avea loc un eveniment, sau nu apare. Presupunem că probabilitatea unui eveniment în fiecare studiu este același și egal. Prin urmare, probabilitatea de non-apariție a evenimentelor în fiecare proces este, de asemenea, constantă și egală. Probabilitatea ca în aceste condiții pentru testul n k are loc evenimentul exact o dată și, prin urmare, nu se va întâmpla din nou determinată de ecuația lui Bernoulli. în cazul în care. Formula lui Bernoulli este, de asemenea, cunoscut sub numele de distribuție de probabilitate binomială, deoarece partea dreapta a acestuia este termenul-a a teoremei binomiale.
6. Teorema locală Laplace. Pentru formula mare Bernoulli de a utiliza este dificilă din cauza calculelor greoaie. Pentru acest caz, am demonstrat așa-numita teorema locală Laplace, care dă cu formula asimptotică, care vă permite să găsiți probabilitatea aproximativă de apariție a unui eveniment în cadrul studiilor de timp, în cazul în care numărul de încercări este suficient de mare. în cazul în care. Pentru a funcționa, un tabel care corespunde valorilor pozitive ale argumentului. pentru că. Formula lui Laplace oferă o mai mare precizie decât mai mult.
7. Teorema Laplace Integral. În cazul în care, în aceleași condiții ca și în cazul anterior, este necesar pentru a găsi probabilitatea ca evenimentul va apărea în testele ori cel puțin o dată sau mai mult, utilizarea teoremei integrală a Laplace. în cazul în care - o funcție tabelă, numită funcția Laplace. Această funcție are următoarele proprietăți: a); b); c) t. e. Funcția ciudat. Valorile lui x este dată de :.
Principala diferență între conceptul de probabilitate a frecvenței relative de apariție a evenimentului constă în faptul că prima caracteristică este calculată înainte de experiment, iar al doilea - după experiența. În cazul în care frecvența relativă de apariție detectează un model permanent, adică. E. Dacă raportul este suficient de mare și cea mai mare parte a seriei de testare se abate puțin de la o valoare constantă, atunci această valoare constantă numită o probabilitate statistică de apariție a evenimentului. Pentru o comparație a acestor valori este folosit, de asemenea, funcția Laplace. Să studii independente făcute, în fiecare dintre acestea pot avea loc un eveniment, sau nu apare. Presupunem că probabilitatea unui eveniment în fiecare studiu este același și egal. Prin urmare, probabilitatea de non-apariție a evenimentelor în fiecare proces este, de asemenea, constantă și egală. Este necesar să se determine probabilitatea ca abaterea de frecvență relativă a probabilității de valoarea absolută nu depășește e> 0. Acest lucru se face folosind următoarea formulă.
8. formula Poisson. În aceleași condiții ca și în cazurile anterioare, dar dacă este mare () și joasă () în loc de formula locală Laplace convenabil de a folosi o formulă asimptotic unde Poisson.