Definiția 7.9. Spațiul se numește finit, dacă este etalonat sistem de vector final.
Teorema 7.3. Subspatiul unui spațiu finit-dimensional - finit.
Dovada. Fie V - spațiu tridimensional, W - subspațiu. Prin definiție, V este un sistem liniar finit vector plic. Atragem dovada teoremei prin inductie. Când n = 1 este evident, deoarece orice subspațiul neconținând vector zero, în acest caz, este aceeași ca declarația V. Să se dovedească pentru n-1. Să ne arate că deține pentru n. Ia nu este zero vector și scrie-l într-o combinație liniară. Fără a pierde din generalitate, putem presupune (altfel enumera vectori). Setul de vectori formează un subspatiu liniar în coajă și prin ipoteza de inducție, acest subspațiu este finit. Să intervalul liniară a vectorilor cu aceleași. Deoarece vectorii aparțin W, atunci incluziunea este evidentă. Să - W. arbitrară vector Vectorul aparține subspațiul și, prin urmare, și intersecția lor. Reprezintă vectorul ca o combinație liniară a vectorilor și exprimă d (). Astfel, comutatorul set, din care, în virtutea alegerii arbitrare a d, deducem ecuația, adică W - subspațiu dimensionale.
Fie V un spațiu finit-dimensional.
Definiția 7.10. set complet minim de vectori în V se numește o bază a spațiului. Numărul de vectori în baza este numită dimensiunea spațiului.
Dimensiunea spatiului V denota dimV.
Corolar 7.7 Dimensiunea nu depășește dimensiunea întregului spațiu. În cazul în care dimensiunea subspatiu coincide cu dimensiunea spațiului, subspațiul coincide cu spațiul.
Dovada. Fie W - subspațiu unui V. spațiu finit dimensional Fie baza V. subspațiul W - finit dimensional (Teorema 7.3) și, prin urmare, are o bază. Prin înlocuirea teorema inegalității. În caz de egalitate a Demonstrația teoremei presupune înlocuirea unui meci liniar coajă.
Definiția 7.11. Coeficienții de dilatare de vectori de bază se numesc coordonatele.
Teorema 7.4. Coordonatele oricărui vector există și sunt unice.
Dovada. Deoarece baza unui sistem complet, atunci orice spațiu vectorial extins în baza. Lăsați vectorul x are două niveluri diferite și de expansiune într-o bază. Scădeți unul de celălalt, obținem egalitatea. Având în vedere independența liniară a vectorilor de bază, toți coeficienții vectorilor de bază sunt egale cu zero, ceea ce înseamnă că aceeași descompunere.
vector coordonatele pentru a indica baza.
Corolarul 7.8. Egalități ,.
Teorema 7.5. (Baza Complement)
Bazele subspatiului spațiului finit-dimensional poate fi extins la o bază a întregului spațiu ..
Dovada. Fie W un subspațiu de V. Vom nota bază de W și printr - o bază de V. Sistemul va elimina vectorii care sunt combinații liniare ale sistemului vector anterior. Sistemul rezultat va fi baza, și formează astfel o bază pentru V. spațiu în plus, vectorii sunt liniar independente, și nu pot fi exprimate liniar în ceea ce privește sistemul vectorial anterior, iar apoi acestea sunt conținute în baza. De fapt, se dovedește că sistemul de vectori completează unele dintre vectorii de bază V la o bază a întregului spațiu.
Teorema 7.6 (dimensiunea sumei) Fie V, W - subspatiu finit dimensional. Apoi.
Dovada. Notăm de bază spațială. Supliment l la o bază de vectori ai spațiului V (adică - bază V) până la o bază și W - vectori (adică - bază W). Este ușor de a verifica dacă coincide cu durata liniară a vectorilor. În plus, sistemul de vectori sunt liniar independenți. Într-adevăr, dacă nu, atunci o combinație liniară a acestor vectori cu coeficienți nenuli este zero. Să. Din ecuația, deducem că vectorul y aparține V și W. Deoarece vectorul y aparține intersecție, atunci toate (datorită unicității coordonatelor), contrar independenței liniare a sistemului. Astfel, sistemul formează vectorii de bază. Mai mult, avem ,, și. Pentru a finaliza dovada rămâne să se verifice valabilitatea egalității.