Am văzut în § 12 că pentru orice cos întreg n n al funcției (cos arc x) definite pe [-1, 1] pe acest segment coincide cu un polinom de gradul n. Aceste polinoame sunt numite polinoamele Chebyshev, numit după marele matematician român, și sunt notate cu Tn (x). Conform rezultatelor obținute în § 12, avem:
În această anexă, vom discuta despre unele proprietăți remarcabile ale polinoamele Chebyshev. Deducem o formulă de recurență pentru a calcula succesiv polinoamele Chebyshev.
Cebîșev Pafnutiy Lvovich
Amplasat în formula trigonometric:
cos (# 945 + # 946) = 2 cos # 945; cos # 946; - cos (# 945 - # 946;); # 945; = N # 966 ;; # 946; = # 966;,
cos (n + 1) # 966; = 2 CosN # 966; cos # 966; - cos (n - 1) # 966;.
credincios # 966; = Arc cos x, avem:
Având în vedere că
* (T0 (x) = 1, deoarece cos (0 arc sin x) = cos 0 = 1)
Folosind formula (1), obținem;
Noi determinăm valoarea coeficientului unui x n polinom Tn. Este ușor de observat că acest factor are 2 n-1. Dovedim acest lucru prin inducție completă. De fapt, afirmația noastră este adevărată pentru polinomul Tn. Să presupunem că pentru acest coeficient polinom Tn egal cu 2 n-1. Apoi, prin formula recurență (I), observăm că coeficientul lui x n + 1, Tn + 1, polinomul este 2 n. Prin urmare, validitatea afirmației pentru orice valoare întreagă pozitivă n.
Ca orice polinom de gradul n, n are rădăcini Tn; arată că toate aceste rădăcini sunt valabile și situate în intervalul (-1, 1). De fapt, în intervalul (-1, 1), avem
unde k - orice număr întreg.
Atașarea k valorile 1, 2, 3. n, obținem n rădăcini Tn (x). în conformitate cu valoarea lui k Aceste rădăcini vor notat ca: x1. x2. XK. xn.
Atașarea valori întregi k altele decât cele luate în considerare, nu obținem alte rădăcini, dar găsit. De fapt:
Valorile x1. x2. xn sunt rădăcini simple Tn (x), deoarece nici unul dintre ele sunt egale. Pentru a construi rădăcini Tn poate proceda dupa cum urmeaza: divide semi-cerc de rază egală cu piesele 2n enumera punctele de diviziune în direcția indicată în figura 58 și notați punctul A cel mai apropiat de punctul B cu abscisa 1. Apoi, pornind de la punctul A, se va proiecta la intervalul [-1, 1], prin una de puncte de divizare (Fig. 58). Obținute în punctul de proiecție a imaginii și sunt rădăcinile geometrice ale (x) Tn
Dacă valoarea lui x se află în intervalul de [- 1, 1], apoi (prin definiție) valori ale polinoamelor Chebyshev sunt închise în același segment:
Definim valorile x pe intervalul [-1, 1] pentru care Tn (x) = ± 1; deoarece Tn (x) = cos (n arc cos x), apoi
Tn (x) = 1 dacă n cos cu arc x = 2kπ;
Tn (x) = -1 dacă n cos cu arc x = (2k + 1) π.