Capitolul I. Vectorii în plan și în spațiu
§ 14. Sistemul de coordonate polare.
Familiarizarea cu o altă metodă de determinare a poziției unui punct pe un plan prin intermediul numerelor - un sistem de coordonate polare.
Să considerăm o axă plană l cu vectorul unitate e, iar punctul de referință O (fig. 42).
Fie M un punct arbitrar în planul care nu coincide cu punctul O. Apoi, OM> - vector raza punctului M în raport cu punctul O.
Să r - lungimea OM vectorului>. . Ie. | OM> | = R. și φ - l unghiul dintre axa și vectorul OM raza>. Φ = unghiul va fi măsurat de axa l în direcția pozitivă, t. E. Într-o direcție opusă direcției în sens orar.
Numerele r și cp sunt numite coordonatele polare ale punctului M: r - raza polară. φ - unghiul polar.
L Axa se numește axa polară. și punctul despre - pol.
Polar punct O rază este considerată a fi zero, unghiul polar al punctului O este definit.
Dacă punctul M este coordonatele polare r și cp. scrie M (r; φ). De exemplu, punctul K (. Figura 43) are coordonatele r = 2, φ = 45 °, adică, K .. (2; 45 °).
Evident, poziția punctului pe planul este complet determinat prin coordonatele sale polare.
Dacă r> 0 și φ - un număr arbitrar, atunci există (și numai unul), punctul M astfel încât
Dacă r = 0, punct coincide cu pol.
Rețineți că unghiul polar al punctului nu coincide cu un pol, nu este determinată în mod unic. De exemplu, un unghi polar pentru punctul K (vezi. Fig. 43) nu este doar unghiul φ = 45 °, dar unghiul φ = 405 ° și, în general, orice unghi φ = 45 ° + 360 ° k. unde k = 0, ± 1, ± 2.
Unghiul polar al punctului este determinat la un multiplu de 360 °. Dacă r> 0, atunci o pereche de numere (r, φ), și (r; φ + 360 ° k), unde k = 0, ± 1, ± 2. determină unul și același punct în avion. Pentru o corespondență între punctele în plan (cu excepția stâlpului) și coordonatele lor polare a fost unul la unul la unghiul polar φ impune limitări 0 <φ <360°.
Stabilește relația dintre coordonatele polare si rectangulare carteziene ale aceluiași plan punctul M.
Lăsați planul definit de coordonate cartezian sistem O, i. j (fig. 44).
Să luăm originea Despre pol -acest litera, axa orizontală - axa polară l. Apoi raza [O y), axa y este orientată la un unghi de 90 ° față de axa l.
Evident, coordonatele carteziene ale punctului M sunt exprimate prin coordonatele polare după cum urmează:
Formulele (1) fac posibilă pentru a găsi coordonatele carteziene ale unui punct de pe coordonatele polare. De la formula (1), obținem
Dacă r = / = 0 (M nu se potrivește cu punctul O), atunci (1) și (2)
Formula (2), (3) permit trecerea de la coordonatele carteziene ale punctului de la coordonatele sale polare.
Problema 1. Găsiți coordonatele polare ale punctului M (-1; √ 3).
În conformitate cu formula (2) găsim
În conformitate cu formulele (3), avem
unde φ = 120 °. Astfel, M (2; 120 °).
Problema 2. Găsiți coordonatele carteziene ale punctului M (4; 135 °).
Prin (1) avem
x = 4 • cos135 ° = 4 • (- √ 2/2) = - 2√ 2.
y = 4 • păcat 135 ° = 4 • √ 2/2 = 2√ 2.
Astfel, M (- 2√ 2; 2√ 2).