fracțiilor raționale - studopediya

Dacă P (z) și Q (z) - polinoame în domeniul complex, apoi - o fracție rațională. Se numește dreapta. în cazul în care gradul de P (z) de grad mai mic de Q (z). și greșit. în cazul în care gradul de P nu este mai mică decât cea a Q. Orice fracție necorespunzătoare poate fi scris ca :. unde P (z) = Q (z) S (z) + R (z), un R (z) - un polinom al cărui grad este mai mică decât cea a Q (z). Astfel, integrarea fracțiilor raționale ale polinoamelor reduce la integrare, adică funcția de putere, și fracțiunile corespunzătoare, ca o fracțiune adecvată.

Lema 1. Dacă - o fracție rațională și adecvată Z0 - rădăcina numitorul k multiplicitate. și anume atunci există un număr A și P1 polinomului (z) astfel încât

în cazul în care ultimul termen este o fracție adecvată.

. În acest caz, ultimul termen este o fracție adecvată. Am ales un astfel ca Z0 fost radacina lui P (z) - negat ÅQ1 (z). adică. Apoi, prin Bézout teorema. Dovada este completă.

Notă. În cazul în care coeficienții polinoamelor P și Q și numitorul rădăcină selectat - numere reale, atunci coeficienții polinoamelor P1 și Q1 - de asemenea numere reale.

Teorema 8.3. În cazul în care - și o fracție rațională adecvată. atunci există numere complexe, care

Aplicarea Lema 1 ori k1 la o fracțiune. obținem:

în cazul în care. Apoi, aplicând aceeași Iernă la rădăcinile rămase ale numitor, obținem formula (8.5).

Lema 2. Fie P (x) si Q (x) - polinoame cu coeficienți reali, unde Q (x) = (x ² + px + q) m Q1 (x), unde p ² - 4q <0. Тогда существуют такие действительные числа В, С и многочлен с действительными коэффициентами Р1 (х), что

în cazul în care ultimul termen este, de asemenea, fracțiune corespunzătoare.

în cazul în care ultimul termen este o fracție adecvată. Alegem B și C sunt astfel încât numărul z0 = x0 + iy0 (rădăcina z ² + pz + q) a fost o rădăcină de P (x) - (bx + C) Q1 (x). Se poate demonstra că, în acest caz, în cazul în care.

Prin urmare, B și C - sunt numere reale, și z0 (numărul de z0 complex conjugat) - rădăcinile polinomul P (x) - (bx + C) Q1 (x). Apoi, prin teorema lui Bézout, acesta este împărțit în

. Prin urmare, cele mai recente împușcat în ecuația (8.7) poate fi redusă cu x ² + px + q și se obține (8,6).

Folosind acest Lema, putem demonstra următoarea teoremă:

Teorema 8.4. În cazul în care - o fracție rațională adecvată, și

în cazul în care există numere reale

1. Fracțiunea rezultată trebuie să coincidă cu originalul pentru orice x. prin urmare, coeficienții aceleași puteri ale lui x în numărătorii celor două fracțiuni trebuie să fie egale. Aici. adică A = 1, B = -1. Prin urmare, fracția inițială a cărei numitor are numai rădăcini reale (și simplu, adică multiplicității 1) pot fi reprezentate :.

Asimilarea coeficienții de puteri, cum ar fi de x în numărătorul, obținem:

. unde A = 1, B = 3, C = 3, D = 5. Astfel, această fracțiune a cărei numitor este rădăcina reală a lui x = 0 și 2 multiplicitate rădăcini conjugate complexe transformatei suma fracțiilor:

Curs 9. Integrarea fracții subunitare simple și arbitrare. Integrarea funcțiilor raționale arbitrare. Integrarea irațional liniar fracționată.

În curs vulgar sa demonstrat că corectează orice fracție rațională poate fi reprezentat ca o combinație liniară de fracțiuni de forma:

1). 2). 3). 4). (9.1)

Aceste fracțiuni se numesc fracții simple (sau elementare). Să ne aflăm modul în care acestea sunt integrate.

Facem schimbarea și scrie. Apoi doriți să calculeze integrala

4) utilizează aceeași înlocuire Când integrarea fracțiunilor parțiale ale ultimului tip, la fel ca în cazul precedent, și reprezintă integrantul sub forma:

care ia în considerare separat calea integrării în.

Astfel, formula recursie obținut, permițând în cele din urmă reduce calculul acestui integrantă

Astfel, integrala orice fracțiune simplu este explicit și o funcție elementară.

Teorema 9.1. Integrala nedefinită a oricărei fracții raționale la orice interval în care numitorul său nu există zero este exprimată în termeni de funcții elementare, fracții și anume raționale și arctangenta logaritmilor.

Reprezintă o fracțiune rațională (vezi curs 8.). În acest caz, ultimul termen este o fracție adecvată, iar teorema 8.4 poate fi reprezentat ca o combinație liniară de fracții parțiale. Astfel, integrarea este redusă la un polinom S integrare fracție rațională (x) și fracții parțiale, primitivii care s-au dovedit a avea forma indicată în teorema.

Notă. Principala dificultate în acest caz este descompunerea factorizarea numitor, și anume căutarea rădăcinilor sale.

Integrarea irațional liniar fracționată.

Anterior, sa dovedit rezultă că orice fracție rațională poate fi integrată, astfel încât să își asume sarcina de a integra punerea în aplicare în continuare funcția, în cazul în care este posibil să se asigure această funcție sub forma unei fracții raționale. În particular, integralele formei. unde R - funcția rațională (fracțiunea polinomială sau rațională), r1, ..., rn - fracții cu același numitor m. a. înlocuire duce la. Astfel, x este o funcție rațională t, în consecință, derivatul său va fi o funcție rațională, de asemenea. Mai mult - variantã rațională a t (din pi - număr întreg). Prin urmare, după înlocuirea integrantul devine R1 (t) dt. în care R1 - metodele integrabile funcționale raționale descrise mai sus.

Notă. Cu astfel de substituții pot fi integrate tip funcție. și, în special,

1. Noi facem schimbarea. atunci. a. Prin urmare,

2. Din moment. a. alege ca o nouă variabilă. Apoi. prin urmare

Curs 10. Integrarea expresii trigonometrice raționale. Integrarea iraționalități pătratice. Integrabilitate în funcții elementare.

Luați în considerare integrarea unor expresii trigonometrice.

1. speciile integralele sunt calculate folosind formule (10.1) Ex.

2. integralele formei. unde m și n - numere întregi integrate prin substituții: a) în cazul în care cel puțin unul dintre numerele m, n - impar (de exemplu, t), putem înlocui t = sin x (sau t = cos x pentru n impar). Exemplul 1 Exemplul 2 b) în cazul în care m și n - chiar număr pozitiv, este posibil să se reducă gradul de funcții trigonometrice folosind formule. Exemplu. c) în cazul în care m și n - chiar și cel puțin una dintre ele este negativ, este posibil să se aplice substituția t = tg x și t = ctg x. Exemplu.

3. integralele formei în care R - este o funcție rațională, redusă la integralelor funcțiilor raționale cu ajutorul unei substituții trigonometrice universal :. atunci. (10.2), adică, toate componentele integrandul este o funcție rațională a t. Exemplu. Dacă integrandul este de forma R (sin²x, cos²x), puteți selecta un t înlocuitor = tg x. În același timp. (10.3) și gradul funcției raționale obținut va fi mai mic decât pentru substituirea trigonometrice universală care facilitează integrarea în continuare. Exemplu.

Integrarea iraționalități pătratice.

La calcularea integralele reduc integrandul la un ajutor rațional înlocui:

a) in care dx = acos t dt ,.

Exemplul 1. Să se calculeze timpul de acțiune integral

. Prin urmare, răspunsul poate fi scris ca:

Exemplul 2 Pentru a evalua înlocuirea integrală a alege x = 3TG t. În acest caz,

. unde u = sin t. Prezentarea integrandul ca suma fracțiilor parțiale, obținem:

Exemplul 3. calculează integralei prin înlocuire. atunci

Integrabilitate în funcții elementare.

În prelegerile anterioare, metodele de integrare a unor funcții elementare. Cu toate acestea, nu toate funcțiile integrabile elementare, adică, primitivele sunt, de asemenea, o funcție elementară. Ca exemple, și alte funcții. Această operațiune se deosebește de integrarea diferențiere, în care derivata oricărei funcții elementare este de asemenea o funcție elementară. Pentru a găsi integralelor funcțiilor care nu au antiderivative elementare, vom introduce și de a folosi noi clase de funcții care nu sunt elementare.

Probleme care conduc la conceptul unei integrale definite. Definite integral și proprietățile sale. Valoarea medie a teoremei valoare integrală definită.

Pentru a rezolva multe probleme din diferite domenii ale științei și tehnologiei necesită utilizarea definită integralei. Acestea includ calculul arii, lungimile de arc,

volum, viteza de lucru, cale, momente de inerție, etc. Noi definim acest concept.

finețe numit partiționare.

Să presupunem că pe [a, b] este dată o funcție y = f (x). Să ne alege pentru fiecare segment de punct de descompunere # 958; i și formează suma formei

numita sumă integrală a funcției f (x). Dacă f (x)> 0, această sumă este egală cu suma suprafețelor de dreptunghiuri cu baze # 916; înălțimi xi și f (# 958; i).

Definiția 11.1. Dacă pentru orice segment de partiție [a, b], există una și aceeași limită de capăt a sumelor integrale și atunci când:

funcția f (x) se numește integrabilă pe intervalul [a, b], iar numărul I numit integralomf specific (x) pe [a, b] și se notează numere a și b sunt numite limitele inferioare și superioare ale integrării.

În plus, definiția integrala definită este completată de următoarele afirmații:

Teorema 11.1 (o condiție necesară pentru integrabilității). În cazul în care funcția este integrabilă pe un interval, atunci este mărginită pe ea.

Dovada. Fie f (x) este integrabilă pe [a, b] și. Fix unele # 949;, de exemplu, # 949; = 1. Prin definiție, există o 11.1 # 948;> 0 astfel încât pentru orice sume integrale # 963; # 964;. corespunzătoare partiției pentru care | # 964; | <δ, верно неравенство | στ – I | <1, откуда I – 1 <στ

Presupunând aici că f (x) este nemarginit [a, b], atunci este nemarginita pe cel puțin unul dintre segmentele de partiție. Apoi produsul f (# 958; i) # 916; xi poate lua valori arbitrar mari în acest interval, adică suma integrală este nelimitată, ceea ce contrazice condiția integrabilitate a f (x).